Enunciado

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

d y d x - y x = y - x ; y = 2   q u a n d o   x = 1

Passo 1

Verificamos se a equação diferencial é de primeira ordem em y   colocando-a na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Vamos então tentar arrumar a equação:

d y d x - y x = y - x ⇒ d y d x - y x - y = - x ⇒ d y d x - 1 x + 1 y = - x

Agora a equação está do jeito que queríamos, com P x = - 1 x - 1 e Q x = - x . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 1 x - 1 d x = - l n ⁡ | x | - x + k

e ∫ P x d x = e - ln ⁡ x - x

Multiplicamos então a equação por e - ln ⁡ x - x :

e - ln ⁡ x - x d y d x - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 y = - x e - ln ⁡ x - x

Passo 3

Como d e - ln ⁡ x - x d x = e - ln ⁡ x - x - 1 x - 1 = - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 , temos:

e - ln ⁡ x - x d y d x - e - ln ⁡ x - x 1 x + 1 y = e - ln ⁡ x - x d y d x + d e - ln ⁡ x - x d x y = d y e - ln ⁡ x - x d x

⇒ d y e - ln ⁡ x - x d x = - x e - ln ⁡ x - x

⇒ d y e - x e ln ⁡ x - 1 d x = x ⋅ e - x e ln ⁡ x - 1 ⇒ d y e - x x d x = x x e - x

Passo 4

Agora integramos:

∫ d y e - x x = ∫ x x e - x d x ⇒ y e - x x = ∫ x x e - x d x

Para x > 0 , a integral fica:

∫ x x e - x d x = ∫ e - x d x = - e - x + C

Para x < 0 :

∫ x - x e - x d x = ∫ - e - x d x = e - x + C

O valor que satisfaz os dois casos é então:

∫ x x e - x d x = - x x e - x + C

Então:

y e - x x = ∫ x x e - x d x ⇒ y e - x x = - x x e - x + C ⇒ y = - x + C x e - x = - x + C x e x

Passo 5

Pelo enunciado, y 1 = 2 . Então:

- 1 + C e = 2 ⇒ C = 3 e = 3 e - 1

⇒ y = - x + x e - 1 e x = - x + x e x - 1

Resposta

y = - x + x e x - 1

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