Enunciado

Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:

a )   2 i → + j →   e   j → - k →

b )   i → + j → + k →   e - 2 j → - 2 k →

c )   3 i → + 3 j →   e   2 i → + j → - 2 k →

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, usamos a definição de produto escalar, onde temos que:

X ∙ Y = X Y cos ⁡ θ

Item a

Os vetores X e Y são dados por:

X = 2 ,   1 ,   0   e   Y = 0 ,   1 ,   - 1

Os módulos são calculados por:

X = 2 2 + 1 2 + 0 2 = 5

Y = 0 2 + 1 2 + - 1 2 = 2

O produto escalar é dado por:

X ∙ Y = 2 ,   1 ,   0 ∙ 0 ,   1 ,   - 1 = 2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ - 1 = 0 + 1 + 0 = 1

Substituindo na equação dada pela definição do produto escalar teremos:

X ∙ Y = X Y cos ⁡ θ = > 1 = 5 ∙ 2 cos ⁡ θ = > cos ⁡ θ = 1 10 = 10 10

θ = a r c cos ⁡ 10 10 ≅ 71,6 °

Passo 2

Seguindo o mesmo procedimento:

Item b

Os vetores X e Y são dados por:

X = 1 ,   1 ,   1   e   Y = 0 ,   - 2 ,   - 2

Os módulos são calculados por:

X = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Y = 0 2 + - 2 2 + - 2 2 = 8 = 2 2

O produto escalar é dado por:

X ∙ Y = 1 ,   1 ,   1 ∙ 0 ,   - 2 ,   - 2 = 1 ∙ 0 + 1 ∙ - 2 + 1 ∙ - 2 = 0 - 2 - 2 = - 4

Substituindo na equação dada pela definição do produto escalar teremos:

X ∙ Y = X Y cos ⁡ θ = > - 4 = 3 ∙ 2 2 cos ⁡ θ = > cos ⁡ θ = - 4 2 6 = - 2 6 6 = - 6 3

θ = a r c cos ⁡ - 6 3 ≅ 144,7 °

Passo 3

Seguindo o mesmo procedimento:

Item c

Os vetores X e Y são dados por:

X = 3 ,   3 ,   0   e   Y = 2 ,   1 ,   - 2

Os módulos são calculados por:

X = 3 2 + 3 2 + 0 2 = 18 = 3 2

Y = 2 2 + 1 2 + - 2 2 = 9 = 3

O produto escalar é dado por:

X ∙ Y = 3 ,   3 ,   0 ∙ 2 ,   1 ,   - 2 = 3 ∙ 2 + 3 ∙ 1 + 0 ∙ - 2 = 6 + 3 + 0 = 9

Substituindo na equação dada pela definição do produto escalar teremos:

X ∙ Y = X Y cos ⁡ θ = > 9 = 3 2 ∙ 3 cos ⁡ θ = > cos ⁡ θ = 9 9 2 = 2 2

θ = a r c cos ⁡ 2 2 ≅ 45 °

Resposta

Ver passo a passo.

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Prove que: P + 0 → = P b) P + u → = P ⇒ u → = 0 → c) P - 0 → = P
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5.Prove que A - u → + v → = A - ( u → - v → )
9.Prove que A + u → + v → + w → = A + u → + ( v → + w → )
7.Determine a relação entre u → ev → , sabendo que, para um dado ponto A , A + u → + v → = A