Enunciado

Determinar o operador linear T : R 2 → R 2 cujos valores próprios são λ 1 = 1 e λ 2 = 3 associados aos vetores próprios v 1 = ( y ,   - y ) e v 2 = ( 0 ,   y ) , respectivamente.

Passo 1

A melhor coisa pra usar em questão de valores e vetores próprios é a própria definição deles!

T v = λ v

Podemos substituir os valores e vetores que ele nos deu, ó. Primeiro pra λ 1 e v 1 :

T y ,   - y = 1 y ,   - y

T 1 ,   - 1 = ( 1 ,   - 1 )

Agora pra λ 2 e v 2 :

T 0 ,   y = 3 0 ,   y

T 0 ,   1 = ( 0 ,   3 )

Passo 2

O que a gente vai fazer é tentar achar as transformações dos vetores da base canônica. Já temos T ( 0 ,   1 ) , agora falta T ( 1 ,   0 ) . Pra isso, a gente soma as duas equações!

T 1 ,   - 1 + T 0 ,   1 = 1 ,   - 1 + 0 ,   3

T 1 ,   0 = ( 1 ,   2 )

Passo 3

Beleza, encontramos a base canônica. Agora a gente vai partir disso e chegar na transformação T ( x ,   y ) . Pegou a ideia?

T 1 ,   0 = 1 ,   2 → T x ,   0 = x ,   2 x

T 0 ,   1 = 0 ,   3 → T 0 ,   y = ( 0 ,   3 y )

Somando as duas:

T x ,   y = ( x ,   2 x + 3 y )

Resposta

T x ,   y = ( x ,   2 x + 3 y )

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