Enunciado

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 3 2 1 1 4 1 1 2 3

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 3 - λ 2 1 1 4 - λ 1 1 2 3 - λ

3 - λ 2 1 1 4 - λ 1 1 2 3 - λ = 0

Expandindo pela regra de Sarrus:

3 - λ 4 - λ 3 - λ + 2 + 2 - 4 - λ - 2 3 - λ - 2 3 - λ = 0

3 - λ 4 - λ 3 - λ = 12 - 5 λ

- λ 3 + 10 λ 2 - 33 λ + 36 = 12 - 5 λ

λ 3 - 10 λ 2 + 28 λ - 24 = 0

Essa parada aí é bem feia... quando tem uma conta do terceiro grau a gente não tem muita opção a não ser chutar um valor. A gente começa com valores pequenos! Tenta λ = 0 , não funciona. Tenta λ = ± 1 , não funcionam. Tenta λ = 2 ... Ah, esse funciona! Então a gente pode fatorar o polinômio como:

λ - 2 λ 2 - 8 λ + 12 = 0

Que pode ser fatorado como:

λ - 2 2 λ - 6 = 0

Opa, resolvendo isso encontramos nossos valores próprios. Tem o λ = 2 (sendo dois valores próprios iguais a 2 ) e λ = 6 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Substituindo λ = 2 :

A - 2 I v = 3 - 2 2 1 1 4 - 2 1 1 2 3 - 2 x y z = 0 0 0

1 2 1 1 2 1 1 2 1 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter a mesma coisa em todas as equações:

x + 2 y + z = 0

Então os vetores próprios de λ = 2 são da forma v = ( x ,   y ,   - x - 2 y ) .

Agora substituindo λ = 6 :

A - 6 I v = 3 - 6 2 1 1 4 - 6 1 1 2 3 - 6 x y z = 0 0 0

- 3 2 1 1 - 2 1 1 2 - 3 x y z = 0 0 0

- 3 x + 2 y + z = 0 x - 2 y + z = 0 x + 2 y - 3 z = 0

Soma a segunda e a terceira:

2 x - 2 z = 0

x = z

Substituindo na segunda:

z - 2 y + z = 0

y = z

Substituindo na primeira pra ver se bate:

- 3 z + 2 z + z = 0

0 = 0

Beleza! Então o nosso vetor próprio vai ser v = ( z ,   z , z ) .

Resposta

λ = 2 : v = ( x ,   y ,   - x - 2 y )

λ = 6 : v = ( z ,   z ,   z )

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