Enunciado

Seja T :   R 2 → R 2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = ( 2 ,   1 ) e triplica o comprimento do vetor v = ( 1 ,   2 ) , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.

  1. Calcular T ( 0 ,   3 ) .
  2. Determinar T x ,   y .
  3. Qual a matriz do operador T na base { 2 ,   1 ,   1 ,   2 } ?

Passo 1

Essa parada aí de mexer no comprimento sem alterar direção... Isso aí tá cheirando a vetor próprio! Porque olha só o que ele tá dizendo que acontece:

T u = 2 u → T 2 ,   1 = ( 4 ,   2 )

T v = 3 v → T 1 ,   2 = ( 3 ,   6 )

Agora vamos tentar chegar na transformação dos vetores canônicos! Pra isso, primeiro faz a primeira relação menos duas vezes a segunda:

T 2 ,   1 - 2 T 1 ,   2 = 4 ,   2 - 2 3 ,   6

T 0 ,   - 3 = - 2 ,   - 10

Dividindo por - 3 :

T 0 ,   1 = 2 3 , 10 3

Agora pega aquela segunda equação e subtrai dela o que encontramos agora:

T 1 ,   2 - 2 T 0 ,   1 = 3 ,   6 - 2 2 3 , 10 3

T 1 ,   0 = 5 3 ,   - 2 3

Passo 2

Olha só o que a gente tem até aqui:

T 1 ,   0 = 5 3 ,   - 2 3 T 0 ,   1 = 2 3 , 10 3

Daqui a gente faz assim, ó:

T x ,   0 = 5 x 3 ,   - 2 x 3 T 0 ,   y = 2 y 3 , 10 y 3

Somando, vamos obter:

T x ,   y = 5 x + 2 y 3 , - 2 x + 10 y 3

Beleza, encontramos a resposta da letra (b). Agora vamos substituir x = 0 e y = 3 pra encontrar a resposta da letra (a):

T 0 ,   3 = ( 2 ,   10 )

Passo 3

A matriz do operador T na base 2 ,   1 ,   1 ,   2 é justamente uma matriz que, ao multiplicar esses vetores, realiza a mesma coisa que a transformação, ou seja, dobra o primeiro e triplica o segundo. Então:

M u ,   v = ( 2 u ,   3 v )

a b c d u v = 2 u 3 v

Multiplicando, vamos obter:

a u + b v = 2 u c u + d v = 3 v

Daí, obtemos:

a = 2 b = 0 c = 0 d = 3

Por isso, nossa matriz é:

2 0 0 3

Resposta

  1. T 0 ,   3 = ( 2 ,   10 )
  2. T x ,   y = 5 x + 2 y 3 , - 2 x + 10 y 3
  3. 2 0 0 3
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Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 3 → R 3 ,T x ,y , z = ( x + y + z ,2 y + z ,2 y + 3 z )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0
Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes: v = ( - 2 ,1 ) , M = 2 2 1 3 v = 1 ,1 ,2 , M = 1 1 1 0 2 1 0 2 3 v = ( - 2 ,1 ,3 ) , M = 1 - 1