Enunciado

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.

  1. 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   2 - x 0 0 3 - 1 - x 0 0 4 3 - x

Passo 2

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 2 - x 0 0 3 - 1 - x 0 0 4 3 - x

det = (2-x)(-1-x)(3-x) + 0 + 0 – 0 – 0 – 0

det = (2-x)(-1-x)(3-x)

Igualando a zero e resolvendo:

(2-x)(-1-x)(3-x) = 0

x = 2

x = -1

x = 3

Passo 3

Substituindo x = 2 na matriz ( A - x I ):

0 0 0 3 - 3 0 0 4 1

Escalonando:

1 0 1 4 0 1 1 4 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a - a 4 a

Assim, temos

a(-1, -1, 4)

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

3 0 0 3 0 0 0 4 4

Escalonando:

1 0 0 0 1 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 - 1 1

Assim, temos

a(0, -1, 1)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

- 1 0 0 3 - 4 0 0 4 0

Escalonando:

1 0 0 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 0 a

Assim, temos

a(0, 0, 1)

Resposta

V1 = (-1, -1, 4)

V2 = (0, -1, 1)

V3 = (0, 0, 1)

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