Enunciado

Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:

b) 4 2 3 2 1 2 - 1 - 2 0

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   4 - x 2 3 2 1 - x 2 - 1 - 2 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 4 - x 2 3 2 1 - x 2 - 1 - 2 - x

det = − x 3 + 5 x 2 − 7x + 3

Igualando a zero e resolvendo:

x 3 + 5 x 2 − 7x + 3 = 0

- x - 1 2 x - 3 = 0

x = 1

x = 3

Passo 2

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

3 2 3 2 0 2 - 1 - 2 - 1

Escalonando:

1 0 1 0 1 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a 0 a

Assim, temos

a(-1, 0, 1)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

1 2 3 2 - 2 2 - 1 - 2 - 3

Escalonando:

1 0 5 3 0 1 2 3 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - 5 a - 2 a 3 a

Assim, temos

a(-5, -2, 3)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, temos que a matriz não é diagonalizável, visto que ela possui 2 autovalores e cada um deles possui somente um autovetor, mas a matriz é 3x3. Para que ela fosse diagonalizável, teria que haver 3 autovetores distintos,

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

Exercícios de Livros Relacionados

No Exercício 4, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 0 1 2 0 2 3 0 3 , B = 1 1 0 2 2 0 0 1 1
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
No Exercício 7, use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável. 2 0 1 2
No Exercício 3, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 , B = 1 2 0 1 / 2 1 0 0 0 1
No Exercício 1, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 1 3 2 , B = 1 0 3 - 2