Enunciado

Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? :D

Para descobrirmos a equação da superfície esférica citada, precisamos achar o centro C da esfera e o raio R .

Passo 2

Os planos citados no enunciado são planos tangentes, portanto apenas 1 ponto dos planos pertence a esfera. Vamos verificar se P é um desses pontos de tangência.

P   ∈ 2 x + 2 y + z - 6 = 0 ?

2 1 + 2 2 + 0 - 6 = 0

6 - 6 = 0

0 = 0

P pertence ao plano.

Passo 3

Como os planos citados são planos paralelos e tangentes à esfera, temos que:

d ( π 1 , π 2 ) = 2 R

A distância entre os planos paralelos é igual a:

d P , π 2 = 2 R

1 2 2 1 + 2 2 + 1 0 + 12 4 + 4 + 1 = R

1 2 18 3 = R

R = 3

Passo 4

n → = 2,2 , 1 é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos C e P . Logo

r : x = 1 + 2 t y = 2 + 2 t z = t ; t ∈ R

Já que C pertence a reta r ele deve satisfazer a equação da reta.

C = ( 1 + 2 t , 2 + 2 t , t )

Passo 5

A distância entre P e C é o raio da esfera, Assim:

d P , C = R

1 + 2 t - 1 2 + 2 + 2 t - 2 2 + t 2 = 3

4 t 2 + 4 t 2 + t 2 = 3

3 t = ± 3

t = 1   o u   t = - 1

Se t = 1 , então:

C = 3,4 , 1

Para t = 1 os dois planos dados não serão tangentes.

S e   t = - 1 , então:

C = ( - 1,0 , - 1 )

Concluímos que:

E : x + 1 2 + y 2 + z + 1 2 = 9

Resposta

E : x + 1 2 + y 2 + z + 1 2 = 9

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação da superfície esférica que contém os pontos 0,0 , 1 , 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) , cujo centro pertence ao plano π : x + y - z = 0
Localize, em relação a superfície esférica de equação: x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 2 y - 2 z + 7 = 0 , os pontos A = ( 2 , - 1,3 ) e B = 3 , - 1,0 .
Sendo u → e S como no Exercício Resolvido 24 - 13 , obtenha uma equação do conjunto Ω , reunião das retas paralelas a u → que determinam, com S , cordas de comprimento 3
( a ) Seja S : x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0 . Obtenha a equação geral da superfície esférica concêntrica com S que determina sobre r : X = 3 , - 2 , - 3 + λ ( - 1,2 , 2 ) uma corda de compr
Obtenha uma equação da superfície esférica que contém P , Q , R e S