Enunciado

Determine uma equação da superfície esférica de centro C = ( 3 , - 2,1 ) tangente ao plano 2 x - y - 2 z - 15 = 0 . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos a equação dessa superfície esférica, precisamos encontrar as coordenadas do seu centro C e o tamanho do seu raio R .

E : x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2  

Passo 2

O plano que tangencia a esfera tem seu vetor normal igual a:

n → = ( 2 , - 1 , - 2 )

n → é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos A (ponto de tangência) e C .Portanto:

r : x = 3 + 2 t y = - 2 - t z = 1 - 2 t ; t ∈ R

Passo 3

A interseção de r com o plano 2 x - y - 2 z - 1 5 = 0 é o ponto A . Logo:

2 3 + 2 t - - 2 - t - 2 1 - 2 t - 15 = 0

9 t - 9 = 0

t = 1

Assim:

A = ( 5 , - 3 , - 1 )

Passo 4

A distância entre A e C é o raio.

d A , C 2 = R 2

R 2 = 5 - 3 2 + - 3 + 2 2 + - 1 - 1 2

R 2 = 9

Concluímos que a equação da esfera é:

E : x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 9

Resposta

A = ( 5 , - 3 , - 1 )

E : x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 9

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