Enunciado

Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.

  1. Matrizes diagonais n × n
  2. Matrizes escalares n × n
  3. a a + b a b : a ,   b ∈ R
  4. V = { a , a , … , a ∈ R n : a ∈ R }
  5. { 1 , a , b : a ,   b ∈ R }
  6. A reta { x , x + 3 :   x ∈ R }
  7. { a , 2 a , 3 a : a ∈ R }

Passo 1

  1. Uma matriz diagonal é uma matriz do tipo:
  2. a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

    Como as matrizes diagonais pertencem ao espaço vetorial das matrizes M ( n , n ) , só precisamos provar que ela é um subespaço desse espaço.

    Para isso temos que verificar se esse tipo de matriz é fechado para a soma e para o produto por escalar, ou seja, é necessário cumprir esses dois requisitos:

    i )   u ,   v   s ã o   d i a g o n a i s ⇒ u + v   t a m b é m   é   d i a g o n a l

    i i )   a ∈ R   e   u   é   d i a g o n a l ⇒   a u   t a m b é m   é   d i a g o n a l

    Então vamos escrever u   e   v ,   duas matrizes diagonais, e vamos observar que realmente é o caso que somente os elementos da diagonal são alterados com as operações de soma e multiplicação por escalar, portanto teremos no resultado também uma matriz diagonal.

    Vamos ver um exemplo:

    u = 1 0 0 2   e   v = 4 0 0 1

    u + v = 1 0 0 2 + 4 0 0 1 = 5 0 0 3

    Logo o resultado da soma também é uma matriz diagonal.

    S e   a = 2

    a u = 2 1 0 0 2 = 2 0 0 4

    Logo na multiplicação por escalar também temos como resultado uma matriz diagonal.

    Para descobrir a dimensão vamos seguir o seguinte raciocínio, podemos escrever uma matriz qualquer desse tipo como:

    a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n = a 11 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 + … + a n n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

    Então para cada elemento a n n   precisamos de uma matriz geradora. Logo, a dimensão desse espaço é n .

    Passo 2

  3. As matrizes escalares são um caso especial das matrizes diagonais, onde a 11 = … = a n n = k . Então do item anterior, temos que elas também formam um subespaço.
  4. Nesse caso somente uma matriz identidade (que é a matriz geradora desse subespaço) de ordem n   é suficiente para gerar todas as matrizes desse espaço:

    k ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ k = k 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

    Do que temos que a dimensão desse subespaço é 1 .

    Passo 3

  5. Vamos aproveitar o fato de as matrizes de ordem 2 formarem um subespaço, uma vez que o conjunto fornecido é subconjunto das matrizes de ordem 2. Para provar que esse subconjunto é de fato um subespaço e, consequentemente, um espaço vetorial, devemos conferir a soma e a multiplicação por escalar.
    1. Soma:
    2. a a + b a b + p p + q p q = a + p ( a + p ) + ( b + q ) a + p b + q

      Veja que a soma é do mesmo tipo que as matrizes desse conjunto, do que temos que a soma de dois elementos desse conjunto está contida nesse conjunto.

    3. Multiplicação por escalar k :

    k a a + b a b = k a k a + k b k a k b

    Veja que a matriz multiplicada por um escalar qualquer ainda é da mesma forma que as matrizes do conjunto, do que segue que a multiplicação por escalar gera matrizes pertencentes ao conjunto.

    Do discutido acima, temos que esse conjunto é um subespaço das matrizes M ( 2,2 ) e, portanto, é um espaço vetorial. Sua base é dada por:

    a a + b a b = a 1 1 1 0 + b 0 1 0 1

    Do que segue que sua dimensão é 2 .

    Passo 4

  6. Nesse item a única diferença é que estamos trabalhando com um vetor, então seguindo a mesma linha de raciocínio podemos escrever:
  7. a ,   a ,   … ,   a + b ,   b ,   … , b = ( c ,   c ,   … ,   c )

    Logo esse espaço é fechado para a soma, e:

    k a ,   a ,   … ,   a = k a ,   k a ,   … ,   k a

    Logo também é fechado para o produto por escalar. Para encontrar sua base podemos escrever:

    a , a , … , a = a ( 1,1 , … , 1 )

    Veja que somente o vetor (1, 1, ..., 1) é necessário para gerar esse espaço, do que segue que sua dimensão é 1.

    Passo 5

  8. Esse conjunto não pode ser um espaço, e isso acontece por que na primeira coordenada temos aquele número 1, e isso significa que todos os vetores desse espaço terão que possuir esse número 1 na primeira coordenada.
  9. Então se fossemos testar para a multiplicação por escalar e escolhêssemos k = 0   teríamos:

    0 1 ,   a ,   b = ( 0 ,   0 ,   0 )

    Como é possível observar, geramos um vetor que não faz parte desse subconjunto.

    A justificativa formal para esse subconjunto não poder ser considerado subespaço utilizando-se das operações usuais, é que ele não contém o elemento neutro 0,0 , 0 .

    Passo 6

  10. Nesse item temos o mesmo problema do item anterior, e não podemos considerar subespaço pois esse subconjunto não contém o elemento neutro ( 0,0 ) .
  11. Passo 7

  12. Usando a linha de raciocínio dos itens anteriores, podemos testar que este conjunto é fechado para a soma e para a produto por escalar, portanto é um subespaço do R 3 .

Sua base pode ser encontrada como segue abaixo:

a , 2 a , 3 a = a ( 1,2 , 3 )

Que possui como base ( 1,2 , 3 ) e dimensão 1 .

Resposta

  1. Espaço;
  2. Espaço;
  3. Espaço;
  4. Espaço;
  5. Não é espaço;
  6. Não é espaço;
  7. Espaço.
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