Enunciado

Adote o enfoque da observação anterior para escrever equações paramétricas de E 3 em relação ao sistema novo.

Passo 1

Bom, a observação anterior acabou por descrever um ponto X em função de um novo sistema de coordenadas Σ 2 = O 2 , f → 1 , f → 2 , f → 3 .

Só que nesta observação, foi escrito o ponto X através de uma espécie de equação vetorial. Vejamos abaixo novamente:

X = O 2 + u f → 1 + v f → 2 + w f → 3

Nosso trabalho agora é levar esta análise para uma forma paramétrica. Relembrando, forma paramétrica significa separar a análise em coordenadas.

Portanto, precisamos dar coordenadas a cada um dos elementos. Começando pela origem, ela é dada por O 2 = 0,0 , 0 . Também sabemos que o vetor O 2 X → = X = u , v , w F . Isto é dado por definição.

Relembrando, a base F é dada pela seguinte lista de vetores: F = f → 1 , f → 2 , f → 3 . Nesta base, as coordenadas dos vetores são:

f → 1 = 1,0 , 0

f → 2 = 0,1 , 0

f → 3 = 0,0 , 1

Agora, já temos todos os dados necessários. Só substituir na relação inicial e separar em coordenadas posteriormente. Portanto,

u , v , w = 0,0 , 0 + u 1,0 , 0 + v 0,1 , 0 + w 0,0 , 1

u , v , w = u , 0,0 + 0 , v , 0 + 0,0 , w

u , v , w = u , v , w

Separando em coordenadas,

u = u v = v w = w

E este é o resultado final.

Resposta

u = u v = v w = w

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Enuncie um procedimento para encontrar um vetor de um comprimento especificado m que aponte na mesma direção e sentido de um vetor v dado.
Prove as partes (a) e (b) do Teorema 3.2.1.
Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo θ entre u e v . (a) u = 2 ,3 ,v = ( 5 ,- 7 ) (b) u = - 6 , -2 ,v = ( 4 ,0 ) (c) u = 1 , - 5 ,4 ,v = ( 3 ,3 ,3 ) (d) u = - 2 , 2 ,3 ,v = ( 1 ,7 ,- 4 )
18. Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique. (a) | | u | | · | | v | | (b) u · v - w (c) u · v - k (d) k ⋅ u
Se ‖ v ‖ = 2 e w = 3 , quais são os maiores e menores valores possíveis de ‖ v - w ‖ ? Interprete seu resultado geometricamente.