Enunciado

Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3.

  1. B = 0,2 , 1
  2. B = 0,0 , 2
  3. B = 3,1 , 0

Passo 1

Vamos lá! Queremos construir uma reta s que dista 3 da reta r . Como estamos falando de distância entre retas, a análise da posição relativa se torna um fator fundamental.

Devemos nos questionar se as retas são paralelas distintas ou reversas. A resposta deste questionamento irá nos dizer qual fórmula devemos utilizar.

E como saberemos isso? A chave da questão está na seguinte pergunta: qual é a distância do ponto B para a reta r ?

Se d B , r = 3 , a reta pode ser tanto paralela distinta quanto reversa. Na grande realidade, não importa a direção da reta reversa, desde que ela esteja contida no plano paralelo a reta r e que contém o ponto B . Portanto, a solução é um plano paralelo a r e que contém B .

Se d B , r > 3 , não podemos ter o caso de retas paralelas, somente o de retas reversas.

E, por fim, se d B , r < 3 , o resultado será o conjunto vazio. Se buscamos a menor distância possível de uma reta para outra, automaticamente, temos que esta distância será menor que 3, então, não satisfará o nosso requisito.

Passo 2

Discutido o passo 1, vamos calcular esta distância entre a reta e o ponto B . Seja A = 3,2 , 1 um ponto pertencente a r , temos:

A B → = B - A = 0,2 , 1 - 3,2 , 1 = - 3,0 , 0

A B → ∧ r → = i j k - 3 0 0 0 1 2 = 0,6 , - 3

d B , r = | | A B → ∧ r → | | | | r → | | = 0 2 + 6 2 + 3 2 0 2 + 1 2 + 2 2 = 45 5 = 9 = 3

Eita! Como d B , r = 3 , a resposta da nossa questão é exatamente um plano paralelo a r que contém B . Portanto, temos que descobri-lo.

Passo 3

Vamos obter o vetor de uma reta perpendicular a r que passa por P . Com este vetor, teremos automaticamente o vetor normal do plano e conseguiremos montar nosso plano.

Para isto, vamos descobrir a projeção do vetor A B → . Aí, vamos subtrair o vetor A B → da projeção, encontrando assim o vetor perpendicular a r → . Assim, teremos o vetor normal do plano. Portanto,

p r o j r → A B → = A B → ⋅ r → r → 2 ⋅ r →

p r o j s → S A → = - 3,0 , 0 ⋅ 0,1 , 2 5 ⋅ 0,1 , 2 = 0 ⋅ 1,0 , 1 = 0 →

A projeção é o vetor nulo? Então, significa que o vetor A B → é o vetor ortogonal que estamos buscando, o vetor normal do plano! Só para facilitar as contas, vamos dividir esse vetor por -3.

Sendo assim, temos n → = 1,0 , 0 e o seguinte plano

π : x + d = 0

Substituindo as coordenadas de B , descobrimos que

0 + d = 0

d = 0

Então, nosso plano π é:

π : x = 0

Estamos quase lá! Só precisamos subtrair o ponto B da solução, para que consigamos formar uma reta.

Portanto, a solução é qualquer ponto X = x , y , z pertencentes ao plano π : x = 0 com exceção do ponto B = 0,2 , 1 .

Resposta

A solução é qualquer ponto X = x , y , z pertencentes ao plano π : x = 0 com exceção do ponto B = 0,2 , 1 .

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