Enunciado

68- Sejam E uma elipse e u → um vetor não nulo, Prove que:

( a ) os pontos médios das cordas de E paralelas a u → pertencem a uma reta que contém o centro;

( b ) se P Q é uma corda paralela a u → que contém o centro da elipse, então as retas tangentes em P e Q são paralelas a reta do item ( a )

Passo 1

Vamos considerar uma elipse com centro na origem cuja equação vale:

x 2 p + y 2 q = 1

Dessa forma a equação vetorial do ponto Q será de:

Q = P + 2 P M →

Uma vez que M = ( x , y ) será o ponto médio de uma reta P Q qualquer nessa elipse. E P = ( h , k ) , portanto:

Q = h , k + 2 x - h , y - k = ( 2 x - h , 2 y - k )

Como P pertence a elipse logo:

h 2 p + k 2 q = 1

E Q pertence a elipse:

2 x - h 2 p + 2 y - k 2 q = 1

Então:

h 2 p + k 2 q - 2 x - h 2 p - 2 y - k 2 q = 0

- 4 x 2 + 4 x h - h 2 + h 2 p + - 4 y 2 - k 2 + 4 k y + k 2 q = 0

x ( 4 h - 4 x ) p + y ( 4 k - 4 y ) q = 0

Cortando 4 nas duas parcelas teremos:

x ( h - x ) p + y ( k - y ) q = 0

Porém como:

h m p + k n q = 0

Da página 326 e os vetores diretor u → = ( m , n ) das cordas são paralelos a m → , então podemos deduzir que:

λ m = h - x

λ n = k - y

Então existe uma reta:

x m p + y n q = 0 → m q x + n p y = 0

Que contém a origem x , y = ( 0,0 ) (e que são as coordenadas dos pontos médios) e é paralela a r → = m , n = ( n p , - m q ) , que é o vetor de inclinação de u →

Passo 2

Se x = y = 0 para a letra b, então λ m = h e λ n = k e a reta tangente a uma elipse tem um vetor igual a t → = p k , - q h e que será igual a λ n p , - m q = λ r →

Resposta

a )   E x p l i c a ç ã o   d o   P a s s o   1

b )   E x p l i c a ç ã o   d o   P a s s o   2

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