Enunciado

Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45 ° , 60 ° e 90 ° ? Justificar.

Passo 1

Quando tratamos de ângulos diretores, temos que verificar a validade da equação:

cos 2 ⁡ θ 1 + cos 2 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ 3 = 1

Passo 2

Vamos elevar cada um dos cossenos dos ângulos do enunciado ao quadrado

cos 2 ⁡ θ 1 = cos 2 ⁡ 45 °

cos 2 ⁡ 45 ° = 2 2 2

cos 2 ⁡ 45 ° = 2 4

cos 2 ⁡ θ 2 = cos 2 ⁡ 60 °

cos 2 ⁡ 60 ° = 1 2 2

cos 2 ⁡ 60 ° = 1 4

cos 2 ⁡ θ 3 = cos 2 ⁡ 90 °

cos 2 ⁡ 90 ° = 0 2 = 0

Passo 3

Por fim, vamos colocar esses cossenos elevados ao quadrado na equação e ver o que é encontrado.

cos 2 ⁡ θ 1 + cos 2 ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ 3 = 1

cos 2 ⁡ 45 ° + cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ 90 ° = 1

2 4 + 1 4 + 0 = 1

3 4 = 1         ( A B S U R D O )

Logo, esses ângulos não são diretores.

Resposta

45 ° , 60 ° e 90 ° não são ângulos diretores.

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