Enunciado

Verificar para os vetores vec u = (4 , - 1,2) e vec v = ( - 3,2 , - 2 ) as desigualdades:

|vec u . vec v| <= |vec u| |vec v| ( D e s i g u a l d a d e d e S c h w a r z )

Passo 1

Fala meu caro, tudo certinho? Vamos começar o exercício analisando a Desigualdade de Schwarz que diz que:

|< vec u . vec v >| <= |vec u| |vec v|

Nós temos aqui três módulos |< vec u . vec v >| , |vec u| e |vec v| , nós precisamos resolver cada módulo individualmente.

Se vec u = (4 , - 1,2) e vec v = ( - 3,2 , - 2 ) :

|< vec u . vec v >| = |< (4 , - 1,2) , ( - 3,2 , - 2 ) >|

E pra calcular o produto escalar? Esse produto escalar pode ser resolvido multiplicando cada termo individualmente i com i , j com j e k com k :

|< vec u . vec v >| = |< ( 4 . (- 3) + (- 1) (2) + 2 (- 2) ) >|

|< vec u . vec v >| = |< - 12 - 2 - 4 >|

|< vec u . vec v >| = |< - 18 >| = 18

Lembrando que um produto escalar sempre gera um número.

O número 18 também pode ser escrito como sqrt(324) , só para facilitar a visualização.

Passo 2

Calma, falta só mais um pouquinho. Vamos calcular os dois módulos restantes.

O módulo de u é:

|vec u| = sqrt(< vec u . vec u >) = sqrt(< (4 , - 1,2) , ( 4 , - 1,2 ) >)

|vec u| = sqrt(< 4.4 + (- 1) (- 1) + 2.2 >)

|vec u| = sqrt(16 + 1 + 4)

|vec u| = sqrt(21)

O módulo de v é:

|vec v| = sqrt(< vec v . vec v >) = sqrt(< (- 3,2 , - 2) , ( - 3,2 , - 2 ) >)

|vec v| = sqrt(< ( - 3 ) ( - 3 ) + (2) (2) + ( - 2 ) . ( - 2 ) >)

|vec v| = sqrt(9 + 4 + 4)

|vec v| = sqrt(17)

Agora, para checar o teorema:

|< vec u . vec v >| <= |vec u| |vec v|

sqrt(324) <= sqrt(21) . sqrt(17)

sqrt(324) <= sqrt(357)

Resposta

sqrt(324) <= sqrt(357)

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