Enunciado

[[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

Passo 1

Bom galerinha, como queremos escrever essa matriz como um produto de matrizes elementares o segredo do malandro aqui é a gente descobrir as operações elementares que aplicamos na identidade pra ela se tornar a matriz em questão. Essas operações elementares, nós podemos expressar na forma de matrizes, e sequência de operações que descobrirmos, vai ser a ordem no produto das matrizes.

Passo 2

Então queremos que

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Se transforme em

[[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

Então bora realizar as operações elementares com as linhas da matriz. Primeiro a gente pode somar a linha 1 à linha 2

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] => [[],[L_2,=,L_2,+,L_1]] = [[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]]

Show de bola, agora pra completar a linha 2 a gente pode somar a linha 3 à ela também

[[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]] => [[],[L_2,=,L_2,+,L_3]] = [[[1,0,0],[1,1,1],[0,0,1]]]

Iradoso, agora vamo fazer uma loucura ali e diminuir a linha 2 da linha 1

[[[1,0,0],[1,1,1],[0,0,1]]] => [[,L_1,=,L_1,-,L_2],[]] = [[[0,-,1,-,1],[1,1,1],[0,0,1]]]

E continuando a loucura bora diminuir a linha 2 da linha 3 também

[[[0,-,1,-,1],[1,1,1],[0,0,1]]] => [[,L_1,=,L_1,-,L_2],[]] = [[[0,-,1,-,1],[1,1,1],[-,1,-,1,0]]]

Pô, tá começando a ficar bonito né, se a gente trocar agora a linha 1 pela linha 3 vai ficar mais bonito ainda, saca só

[[[0,-,1,-,1],[1,1,1],[-,1,-,1,0]]] => [[L_1,<=>,L_3],[],[L_3,<=>,L_1]] = [[[-,1,-,1,0],[1,1,1],[0,-,1,-,1]]]

E agora é só multiplicar as linhas por - 1 que fica a coisa mais linda do mundo

[[[-,1,-,1,0],[1,1,1],[0,-,1,-,1]]] => [[L_1,=,- L_1],[],[]] = [[[1,1,0],[1,1,1],[0,-,1,-,1]]] => [[],[],[L_3,=,-,L_3]] = [[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

Passo 3

Prontinho, a gente descobriu as operações elementares que fazem a matriz identidade se transformar na matriz da questão, então agora vamos expressar essas operações em forma de matriz.

  1. L_2 = L_2 + L_1
  2. L_2 = L_2 + L_3
  3. L_1 = L_1 - L_2
  4. L_1 = L_1 - L_2
  5. L_1 <=> L_3
  6. L_1 = - L_1
  7. L_3 = - L_3

A primeira operação soma a linha 1 à linha 2, daí a matriz elementar vai ser

[[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]]

Já na segunda operação somamos a linha 3 à linha 2, então a matriz elementar é

[[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]]

A terceira operação diminui a linha 2 da linha 1, portanto a representação matricial fica

[[[1,-,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Agora na quarta operação diminuímos a linha 2 da linha, logo temos que a matriz é

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,-,1,1]]]

A quinta operação é uma troca de linhas entre a linha 1 e a linha 3,portanto a matriz é

[[[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]]]

Já na sexta operação, multiplicamos a linha 1 por - 1 , daí a matriz elementar vai ser

[[[-,1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

E por fim na sétima operação, também multiplicamos por - 1 , mas dessa vez é a linha 3, logo

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-,1]]]

Passo 4

Show de bolinhas, agora já temos todas as operações elementares e suas respectivas matrizes que, aplicadas na matriz identidade, fazem ela se transformar na matriz em questão. Logo

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-,1]]] [[[-,1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]]] [[[1,0,0],[0,1,0],[0,-,1,1]]] [[[1,-,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]] I = [[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

E como a matriz identidade é o elemento nulo do produto entre matrizes, temos que

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-,1]]] [[[-,1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]]] [[[1,0,0],[0,1,0],[0,-,1,1]]] [[[1,-,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]] = [[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

Resposta

[[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-,1]]] [[[-,1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]]] [[[1,0,0],[0,1,0],[0,-,1,1]]] [[[1,-,1,0],[0,1,0],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]] [[[1,0,0],[1,1,0],[0,0,1]]] = [[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]]

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A = 2 1 0 - 1 1 0 3 0 - 1 , B = 6 9 4 - 5 - 1 0 - 1 - 2 - 1
[[[-,1,3,-,4],[2,4,1],[-,4,2,-,9]]]
6 - 4 - 3 2
[[[-,1,3],[3,-,2]]]