Enunciado

A base B é obtida da base canônica A do R 2 pela rotação de π / 3 rad. Calcular:

a) I B A

b) I A B

Passo 1

O problema diz que a base B é obtida base A = { 1 ,   0 ,   0 ,   1 } por uma rotação de π / 3 radianos. Queremos achar as matrizes de mudança de base.

Como a base B é obtida de A por uma rotação, temos que a matriz de mudança de A para B é uma rotação:

I B A = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Neste caso, θ = 60 ° , de modo que

I B A = 1 2 - 3 2 3 2 1 2

Passo 2

Para achar a matriz de mudança de B para A , basta inverter a matriz encontrada no item (a). Todavia, para as matrizes de rotação, sabemos que a inversão é equivalente a fazer a rotação no sentido contrário, com θ = - 60 ° .

Como s e n   - 60 ° = - s e n   60 ° e cos ⁡ ( - 60 ° ) = cos ⁡ 60 ° , segue que

I A B = 1 2 3 2 - 3 2 1 2

Resposta

I B A = 1 2 - 3 2 3 2 1 2

I A B = 1 2 3 2 - 3 2 1 2

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A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x - y + 2 z , y
Seja T :R 2 → R 2 o operador linear que transforma u em T ( u ) e v em T ( v ) , conforme figura.a) Dar a lei do operador T .b) Determinar a transformação linear que transforma T ( u ) em u e T ( v )
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 definido pela matriz: 1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1 a) Mostrar que T é um isomorfismo.b) Determinar a lei de que define o operador T - 1 .c) Utilizar a matriz de T ou de T
Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + z , x - z ,