Enunciado

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 .

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x - y + 2 z , y - z , 2 y - 3 z )

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.

Para construir a matriz de transformação, temos que

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( - 1 ,   1 ,   2 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( 2 , - 1 , - 3 )

Assim,

T = 1 - 1 2 0 1 - 1 0 2 - 3

Note que

det ⁡ T = 1 ⋅ - 1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = - 1 ≠ 0

Portanto, [ T ] admite inversa e T é invertível.

Passo 2

Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de [ T ] . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.

1 - 1 2 0 1 - 1 0 2 - 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a terceira linha por - 1 / 2 e somando com a segunda:

1 - 1 2 0 1 - 1 0 0 1 / 2 1 0 0 0 1 0 0 1 - 1 / 2 ⇒ 1 - 1 2 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 - 1

Somando a segunda linha com a terceira e substituindo na segunda:

1 - 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 - 1 0 2 - 1

Somando a primeira linha com a segunda e substituindo na primeira:

1 0 2 0 1 0 0 0 1 1 3 - 1 0 3 - 1 0 2 - 1

Por fim, multiplicamos a primeira linha por - 1 / 2 e somamos com a última:

- 1 / 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 0 3 - 1 0 2 - 1 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1 0 3 - 1 0 2 - 1

Assim, a matriz inversa é

T - 1 = 1 - 1 1 0 3 - 1 0 2 - 1

Passo 3

Assim, a transformação inversa é dada por

1 - 1 1 0 3 - 1 0 2 - 1 ⋅ x y z = x - y + z 3 y - z 2 y - z

Portanto,

T - 1 x , y , z = x - y + z , 3 y - z , 2 y - z

Resposta

T - 1 x , y , z = x - y + z , 3 y - z , 2 y - z

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