Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 2 → R 2 ,   T x ,   y = ( x + 2 y ,   - x + 4 y )

Passo 1

Galera, pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M = 1 2 - 1 4

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 1 - λ 2 - 1 4 - λ

1 - λ 2 - 1 4 - λ = 0

1 - λ 4 - λ + 2 = 0

λ 2 - 5 λ + 4 + 2 = 0

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Resolvendo essa equação, vamos obter λ = 2 e λ = 3 . Esses são os nossos valores próprios!

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir os valores de λ que encontramos na equação M - λ I v = 0 .

Primeiro vamos substituir λ = 2 :

M - 2 I v = 1 - 2 2 - 1 4 - 2 x y = 0 0

- 1 2 - 1 2 x y = 0 0

Multiplicando vamos obter essa equação:

- x + 2 y = 0

Então, os vetores v = 2 y ,   y = y ( 2 ,   1 ) são vetores próprios associados a λ = 2 .

Agora olha pra λ = 3 :

M - 3 I v = 1 - 3 2 - 1 4 - 3 x y = 0 0

- 2 2 - 1 1 x y = 0 0

Multiplicando vamos obter um sistema:

- 2 x + 2 y = 0 - x + y = 0

Daqui, obtemos x = y . Então os vetores v = y , y = y ( 1 ,   1 ) são vetores próprios associados a λ = 3 .

Resposta

λ = 2 : v 2 = 2 y ,   y

λ = 3 : v 3 = ( y ,   y )

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