Enunciado

A base A B C D do paralelepípedo na Figura 12-3 tem área 9. O ponto M divide ( A ,   B ) na razão 2 , e a aresta B F , de comprimento 2 , forma com o plano da base um ângulo de 60 ° . Calcule C M → ,   C B → ,   B F → , sabendo que V ³ está orientado por uma base dextra.

Passo 1

Sabemos que:

C M → ,   C B → ,   B F → = C M → ∧ C B → . B F → . cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo que B F → forma com C M → ∧ C B → .

Passo 2

Vamos pensar uma coisa: como C M → , C B → são vetores diretores do plano da base, o produto vetorial deles é um vetor normal do plano não é? Então é paralelo a P G .

Qual o ângulo entre B F → e P G ?

Como B F → forma 60 ° com o plano base, por análise de triângulo retângulo, vemos que ele forma 30 ° com P G . Então:

C M → ,   C B → ,   B F → = C M → ∧ C B → . B F → . cos ⁡ 30 °

Agora se a gente olhar a área da base, vamos ter:

Isso quer dizer que podemos relacionar a área da base de A B C D com a área da outra base C M B . De modo que:

1 2 C M → ∧ C B → = 1 4 B A → ∧ B C →

Onde B A → ∧ B C →   é a área que o enunciado nos valendo 9 , sendo assim, segue que:

1 2 C M → ∧ C B → = 1 4 9

C M → ∧ C B → = 9 2

Passo 3

Portanto, como B F → , de acordo com o enunciado, vale 2 , obtemos que::

C M → ,   C B → ,   B F → = 9 2 . 2 . cos ⁡ 30 °

C M → ,   C B → ,   B F → = 9 . 3 2

Então:

C M → ,   C B → ,   B F → = 9 3 2

Resposta

C M → ,   C B → ,   B F → = 9 3 2

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