Enunciado

Sejam A ,   B e C pontos não-colineares. Exprima a distância de um ponto D ao plano A B C em função de A B → ,   A C → ,   A D → .

Passo 1

Temos algo mais ou menos assim, olha:

Vamos agora imaginar um paralelepípedo com base no plano e altura A D , ou seja, a distância de D até o plano é a altura desse paralelepípedo.

Passo 2

Sabemos que o volume de um paralelepípedo é:

V = b 1 . b 2 . h

Onde b 1 e b 2 são as arestas da base e h é a altura A D .

Como queremos encontrar h , a distância de D até o plano, temos:

h = V b 1 . b 2

Então, a altura do paralelepípedo é o volume dele dividido pela área da base.

Passo 3

A área da base do nosso paralelepípedo, ou seja, a área do nosso paralelogramo, é dada pelo produto vetorial:

| A B → ∧ A C → |

E o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto

| A B → ,   A C → ,   A D → |

Então, a distância de D até o plano, ou seja, a altura do paralelepípedo, será escrita como:

d = A B → ,   A C → ,   A D → | A B → ∧ A C → |

Resposta

d = A B → ,   A C → ,   A D → | A B → ∧ A C → |

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P 2,1 , 5 Q - 1,3 , 4 R 3,0 , 6
Use o produto misto para determinar se os pontos pertencem ao mesmo plano: A ( 1,3 , 2 ) B ( 3 , - 1,6 ) C ( 5,2 , 0 ) D ( 3,6 , - 4 )
Se v 1 ,v 2 ,v 3 são vetores não coplanares, sejam k 1 = v 1 × v 3 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 2 = v 3 × v 1 v 1 ∙ v 2 × v 3 k 3 = v 1 × v 2 v 1 ∙ v 2 × v 3 (Esses vetores aoarecem no estudo de cristalografia.
Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a ,b e c . a =6,3 , - 1 b =0,1 , 2c =4 , - 2,5
Determine a área do paralelogramo com vértices em K ( 1 ,2 ,3 ) ,L ( 1 ,3 ,6 ) ,M ( 3 ,8 ,6 ) e N ( 3 ,7 ,3 ) .