Enunciado

Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.

Passo 1

Antes de começarmos a discutir o que deve acontecer com o produto misto para que todos os pontos sejam coplanares ou não, precisamos determinar alguns vetores.

Estes vetores serão P Q , P R e P S . Todos eles partindo do mesmo ponto P . Vamos determinar um por vez agora. Começando pelo vetor P Q , temos

P Q = Q - P

P Q = 2,4 , 6 - 1,0 , 1

P Q = 1 , 4 , 5

Já para o vetor P R , temos:

P R = R - P

P R = 3 , - 1 , 2 - 1,0 , 1

P R = 2 , - 1 , 1

Por fim, o vetor P S será dado por:

P S = S - P

P S = 6 , 2 , 8 - 1,0 , 1

P S = 5 , 2 , 7

Passo 2

Pronto, agora que conseguimos determinar cada um desses vetores, podemos fazer o produto misto entre eles. Se os 4 pontos pertencerem a um mesmo plano, significa dizer que estes 3 vetores também são coplanares, e consequentemente, seu produto misto é nulo!

Portanto, vamos calcular o produto misto entre esses 3 vetores.

P Q ⋅ P R × P S = 1 4 5 2 - 1 1 5 2 7

P Q ⋅ P R × P S = - 7 + 20 + 20 - - 25 + 2 + 56

P Q ⋅ P R × P S = 33 - 33 = 0

Como o produto misto é zero, os vetores são coplanares e os pontos também são!

Resposta

Os pontos são coplanares, pois P Q ⋅ P R × P S = 0 .

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