Enunciado

Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas:

a) Escreva sua matriz e sua equação característica;

b) Obtenha seus autovalores;

c) Descreva suas linhas de nível;

d) Ache autovetores unitários ortogonais u e u∗ ;

e) Determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma quadrática se exprime como A ’ s ²   +   C   ‘ t ² ;

f) Ache os focos da cônica A ’ s ²   +   C   ‘ t ²   -   1 em termos das coordenadas x ,   y .

As formas quadráticas são:

a) ϕ ( x ,   y )   =   x ²   +   x y   +   y ²

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é bem longo e vai requerer um pouco mais de domínio algébrico.

Preparado?

Inicialmente nossa forma quadrática é x ²   +   x y   +   y ² ; logo temos que:

A   =   1   B   =   ½     e   C   =   1

Visto que a equação característica é dada por:

λ 2 -   A + C   λ + A C - B 2 = 0

Vamos substituir nosso valores:

λ 2 -   1 + 1   λ + 1.1 - ( 1 2 ) 2 = 0

λ 2 -   2   λ + 1 - 1 4 = 0

λ 2 - 2 λ   + 3 4   = 0

Escrevendo na forma matricial teremos:

A B B C

Vamos substituir nosso valores e teremos a matriz característica:

1 1 2 1 2 1

Passo 2

Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica: λ 2 - 2 λ   + 3 4   = 0

Onde vamos encontrar como solução:

λ 1 = 1,5           e               λ 2 = 0,5  

Logo teremos como autovalores 1,5   e   0,5  

Passo 3

Neste item vamos descrever as linhas de nível.

Para que isso ocorra temos que encontrar A C - B 2 substituindo nosso valores temos:

A C - B ²       =   1.1   –   ( 1 / 2 ) ²   =   ¾  

Como o nosso resultado foi maior que 0 temos que nossa linha de nível pode ser representada como φ x , y = c ; com c   = λ 1 s 2 +   λ 2 t ²      

Passo 4

Quase acabando fica comigo!

Para encontramos o autovetor vamos mergulhar no polinômio característico e na álgebra hermitiana.

Mas o livro nos dá uma dica , que simplificando o autovetor e encontrado utilizando a relação:

u * = ( - b , a )

Encontrado pela relação:

B - b + C a = λ 2 a  

Onde λ s já encontramos o mesmo valerá 0,5     ;     B =   ½     e   C =   1 para essa forma quadrática; logo teremos que:

1 2 - b + 1 = 0.5    

1 2 - b = 0.5 - 1      

1 2 - b = - 0,5      

b = 1      

1 2 - 1 + 1 . a = 0,5 a  

- 0,5 + 1 . a = 0,5 a  

a = 1

Portanto o autovetor será:

u * = - b , a = ( - 1,1 )

Passo 5

Vamos neste item determinar os novos eixos para isso vamos lembrar que:

ϕ ( s ,   t )   =   ϕ ( a s   -   b t ,   b s   +   a t )   =   λ 1 s ²   +   λ 2 t ² .

Igualando termo a termo teremos:

a s   -   b t =   λ 1 s ²  

b s   +   a t =   λ 2 t ²

Já sabemos a   e   b   , calculado no item anterior, então vamos substituir:

1 s + 1 t =   1,5 s ²  

- 1 s   +   1 t =   0,5 t ²

Resolvendo ambas as equações graficamente observamos que o novos eixos serão ( 0,333   e   - 0,1666 )

Dica!

Use uma calculadora gráfica para resolver ambas as equações pois algebricamente é impossível um exemplo é o uso do Symbolab

Passo 6

Neste item, o mesmo decorre da resposta do item anterior com a resolução graficamente das equações

1 s + 1 t =   1,5 s ²  

- 1 s   +   1 t =   0,5 t ²

Vamos obter a distância focal igual a:

d = 0,16

Como c   =   d / 2 ,as coordenadas dos focos serão:

f   (   0   , ± 0,08 )

Ufa essa foi longa, mas acabamos!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a) λ 2 - 2 λ   + 3 4   = 0

1 1 2 1 2 1

b)

λ 1 = 1,5           e               λ 2 = 0,5  

c)

A C - B ²       =   1.1   –   ( 1 / 2 ) ²   =   ¾  

d)

u * = - b , a = ( - 1,1 )

e)

( s =   0,333       e   t =   - 0,1666 )

f)

f   (   0   , ± 0,08 )

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