Enunciado

Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de

A =   - 2 2 3 - 2 3 2 - 4 2 5

e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e bases dos autoespaços de

  1. A - 1

Passo 1

Os autovalores próprios de A são as raízes da equação característica det ⁡ A - I   λ = 0 . Assim,

det ⁡ - 2 2 3 - 2 3 2 - 4 2 5 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Fazendo as continhas, temos

- λ 3 + 6 λ 2 - 11 λ + 6

Portanto os autovalores são

λ 1 = 1

λ 2 = 2

λ 3 = 3

Com isso, conseguimos calcular os autovetores:

A u t o v a l o r     λ 1 = 1   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 0 1

A u t o v a l o r   λ 2 = 2   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 2 0

A u t o v a l o r   λ 3 = 3   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 1 1

Beleza?!

Passo 2

Sabendo que no Exercício 23, provamos que se λ for um autovalor de uma matriz invertível com autovetor associado x , então 1 λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado x .

Ou seja,

A u t o v a l o r     λ 1 = 1   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 0 1

A u t o v a l o r   λ 2 = 1 / 2   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 2 0

A u t o v a l o r   λ 3 = 1 / 3   e   b a s e   a s s o c i a d a :   1 1 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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