Enunciado

Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas:

a) Escreva sua matriz e sua equação característica;

b) Obtenha seus autovalores;

c) Descreva suas linhas de nível;

d) Ache autovetores unitários ortogonais u e u∗ ;

e) Determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma quadrática se exprime como A ’ s ²   +   C   ‘ t ² ;

f) Ache os focos da cônica A ’ s ²   +   C   ‘ t ²   -   1 em termos das coordenadas x ,   y .

As formas quadráticas são:

c) ϕ ( x ,   y )   =   x ²   -   6 x y   +   9 y ²

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício é bem longo e vai requerer um pouco mais de domínio algébrico.

Preparado?

Inicialmente nossa forma quadrática é   x ²   -   6 x y   +   9 y ² ; logo temos que:

A   =   1   B   =   3   e   C   =   9

Visto que a equação característica é dada por:

λ 2 -   A + C   λ + A C - B 2 = 0

Vamos substituir nosso valores:

λ 2 -   1 + 9   λ + 1.9 - ( 3 ) 2 = 0

λ 2 -   10   λ + 9 - 9 = 0

λ 2 - 10 λ = 0

Escrevendo na forma matricial teremos:

A B B C

Vamos substituir nosso valores e teremos a matriz característica:

1 3 3 9

Passo 2

Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica: λ 2 - 10 λ = 0

Onde vamos encontrar como solução:

λ 1 = 0           e               λ 2 = 10

Logo teremos como autovalores 0   e   10  

Passo 3

Neste item vamos descrever as linhas de nível.

Para que isso ocorra temos que encontrar A C - B 2 substituindo nosso valores temos:

A C - B 2     =   1.9   –   3 2 = 0

Como o nosso resultado foi maior que 0 temos que nossa linha de nível pode ser representada como φ x , y = c ; com c   = λ 1 s 2 +   λ 2 t ²      

Passo 4

Quase acabando fica comigo!

Para encontramos o autovetor vamos mergulhar no polinômio característico e na álgebra hermitiana.

Mas o livro nos dá uma dica , que simplificando o autovetor e encontrado utilizando a relação:

u * = ( - b , a )

Encontrado pela relação:

B - b + C a = λ 2 a  

Onde λ s já encontramos o mesmo valerá 10     ;     B =   3     e   C =   9 para essa forma quadrática; logo teremos que:

3 - b + 9   = 10    

- 3 b   = 10 - 9    

b = - 1 3      

3   - 1 3 + 9 . a = 10 a  

- 1   = a  

a = - 1

Portanto o autovetor será:

u * = - b , a = ( 1 3 , - 1 )

Passo 5

Vamos neste item determinar os novos eixos para isso vamos lembrar que:

ϕ ( s ,   t )   =   ϕ ( a s   -   b t ,   b s   +   a t )   =   λ 1 s ²   +   λ 2 t ² .

Igualando termo a termo teremos:

a s   -   b t =   λ 1 s ²  

b s   +   a t =   λ 2 t ²

Já sabemos a   e   b   , calculado no item anterior, então vamos substituir:

- 1 s + 1 3 t =   0 s ²  

- 1 3 s - 1 t =   10 t ²

Resolvendo ambas as equações graficamente observamos que o novos eixos serão ( 30 40   e - 1 20 )

Dica!

Use uma calculadora gráfica para resolver ambas as equações pois algebricamente é impossível um exemplo é o uso do Symbolab

Passo 6

Neste item, o mesmo decorre da resposta do item anterior com a resolução graficamente das equações

- 1 s + 1 3 t =   0 s ²  

- 1 3 s - 1 t =   10 t ²

Vamos obter a distância focal igual a:

d = 1 120

Como c   =   d / 2 ,as coordenadas dos focos serão:

f   (   0   , ± 0,00416 )

Ufa essa foi longa, mas acabamos!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

a) λ 2 - 10 λ = 0

1 3 3 9

b)

λ 1 = 0           e               λ 2 = 10  

c)

A C - B 2     =   1.9   –   3 2 = 0

d)

u * = - b , a = ( 1 3 , - 1 )

e)

( s = - 30 40         e   t =   - 1 20 )

f)

f   (   0   , ± 0,00416 )

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