Enunciado

Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção.

3 0 0 - 2 7 0 4 8 1

Passo 1

Quando se diz para encontrarmos os autovalores por inspeção, significa que temos que encontrar fazendo testes e vendo qual deles vai nos atender. Então, como primeiro passo vamos encontrar algum autovetor que correspondente.

A = 3 0 0 - 2 7 0 4 8 1 ;   x =   x y z

A * x   = 3 0 0 - 2 7 0 4 8 1 * x y z = 3 x 7 y - 2 x 4 x + 8 y + z

Como já aprendemos, um vetor será um autovetor de uma matriz se o resultado da multiplicação entre eles for um vetor múltiplo dele mesmo, como é caso!

Passo 2

Por fim, devemos apenas agora encontrar o autovalor correspondente, ou seja, vamos voltar aquela propriedade que vimos anteriormente,

A * x = λ * x

Para o caso atual, podemos reescrever da seguinte forma,

3 0 0 - 2 7 0 4 8 1 * x y z   =     λ * x y z

3 x 7 y - 2 x 4 x + 8 y + z = λ * x y z

Passo 3

Agora a gente vai ter que forçar valores aí pra essas coisas serem iguais...

Se for maroto, dá pra ver que se fizermos λ = 3 :

3 x 7 y - 2 x 4 x + 8 y + z = 3 * x y z

3 x 7 y - 2 x 4 x + 8 y + z = 3 x 3 y 3 z

E manipulando a gente consegue deixar igualzinho:

- com

7 y - 2 x = 3 y

x = 2 y

- com

4 2 y + 8 y + z = 3 z

y = 1 8 z

Tcharam:

3 x 7 y - 2 2 y 4 2 1 8 z + 8 1 8 z + z = 3 x 3 y 3 z

3 x 3 y 3 z = 3 x 3 y 3 z

Então λ = 3 é um autovalor.

Passo 4

Agora vamos tentar forçar a segunda linhas, masss olha com bastante atenção que só vamos conseguir fazer 7 y - 2 x = λ y , se x = 0 , concorda??

Então já vamos substituir:

3 0 7 y - 2 0 4 0 + 8 y + z = λ * 0 y z

0 7 y 8 y + z = λ * 0 y z

Agora sendo marito igual no passo anterior, podemos fazer λ = 7 , sacou?

0 7 y 8 y + z = 7 * 0 y z

0 7 y 8 y + z = 0 7 y 7 z

Daí forçamos a última linha:

8 y + z = 7 z

y = 6 8 z

E boom:

0 7 y 8 6 8 z + z = 0 7 y 7 z

0 7 y 7 z = 0 7 y 7 z

E ficou igual, então λ = 7 é um autovalor.

Passo 5

Agora, finalmente, vamos forçar a útlima linha:

Repara só que 4 x + 8 y + z = z se x = 0 e y = 0 .

Então, substituindo:

3 0 7 0 - 2 0 4 0 + 8 0 + z = λ * 0 0 z

0 0 z = λ * 0 0 z

Ohhh... já ta praticamente igual... Se fizermos λ = 1 :

0 0 z = 1 * 0 0 z

0 0 z = 0 0 z

Então λ = 1 é um autovalor também.

Resposta

λ = 3

λ = 7

λ = 1

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