Enunciado

Em cada parte, encontre a equação característica da matriz.

10 - 9 4 - 2 0       0 0       0 0 0 0 0 - 2 - 7 1 2

Passo 1

Para descobrimos a equação característica de uma matriz, devemos nos lembrar da seguinte propriedade que as definem,

det ⁡ A - λ I = 0

Logo para a matriz anteriormente citada teremos,

A - λ I = 10 - 9 4 - 2 0       0 0       0 0 0 0 0 - 2 - 7 1 2 -   λ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 =   10 - λ - 9 4 - 2 - λ 0                       0 0                       0 0                 0 0                 0 - 2 - λ - 7 1 2 - λ

Para conseguirmos calcular o determinante de uma matriz 4x4, teremos que reduzir a matriz a uma forma escalonada, para que ela tenha a seguinte cara,

a ⋯ b 0 ⋱ ⋮ 0 0 c

Desta maneira, seguiremos os seguintes passos,

10 - λ - 9 4 - 2 - λ 0                       0 0                       0 0                 0 0                 0 - 2 - λ - 7 1 2 - λ   A p l i c a n d o ,     R 2   ← R 2 -   4 10 - λ   R 1

= 10 - λ - 9 0 λ 2 - 8 λ + 16 10 - λ 0                       0 0                       0 0                 0 0                 0 - 2 - λ - 7 1 2 - λ   A p l i c a n d o ,     R 4   ← R 4 -   1 - 2 - λ   R 3

= 10 - λ - 9 0 λ 2 - 8 λ + 16 10 - λ 0                       0 0                       0 0                           0 0                           0 - 2 - λ - 7 0 λ 2 + 3 - 2 - λ  

Agora, podemos calcular o determinante da matriz apenas fazendo o produto diagonal.

det ⁡ A - λ I = 0   → 10 - λ λ 2 - 8 λ + 16 10 - λ - 2 - λ λ 2 + 3 - 2 - λ = λ - 4 2 λ 2 + 3 = 0

Resposta

Arrumando a expressão acima, teremos a nossa equação característica da matriz,

λ 4   - 8   λ 3 + 19 λ 2 - 24 λ + 48 = 0

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