Enunciado

  1. Mostre que um operador linear T (num espaço de dimensão finita) que comuta com qualquer operador linear diagonalizável é diagonalizável.
  2. Nas condições do item (a) mostre que na verdade T é um múltiplo escalar do operador identidade, isto é, existe um número r tal que T = r ∙ I .

Passo 1

  1. Bom, se T comuta com qualquer operador linear de V → V , tomemos então T 1 que possui todos os autovalores distintos. Disso, seja D 1 a matriz diagonal obtida de T 1 após a mudança para a base dos autovetores, isto é:
  2. D 1 = P - 1 T 1 P

    Ou ainda:

    T 1 = P D 1 P - 1

    Como T e T 1 comutam, temos que:

    T T 1 = T 1 T

    Ou seja:

    T P D 1 P - 1 = P D 1 P - 1 T

    Multiplicando por P - 1 à esquerda e por P à direita, temos:

    P - 1 T P D 1 = D 1 P - 1 T P

    A ideia é provar que P - 1 T P é diagonal, porque ai chegamos à conclusão que existe uma mudança de base que diagonaliza T , de modo que ela é diagonalizável. Para simplificar:

    T D = P - 1 T P

    E ainda:

    T D = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

    E:

    D 1 = λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n

    Fazendo as contas:

    T D D 1 = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n = λ 1 a 11 ⋯ λ n a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ λ 1 a n 1 ⋯ λ n a n n

    D 1 T D = λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n = λ 1 a 11 ⋯ λ 1 a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ λ n a n 1 ⋯ λ n a n n

    Comparando a primeira linha das matrizes:

    λ 1 a 11 = λ 1 a 11

    λ 2 a 12 = λ 1 a 12 ⇒ λ 2 - λ 1 a 12 = 0 ⇒ a 12 = 0  

    λ n a 1 n = λ 1 a 1 n ⇒ λ n - λ 1 a 1 n = 0 ⇒ a 1 n = 0  

    Aqui usamos que os autovalores são distintos para concluir que as entradas de T D são nulas fora da diagonal principal.

    Faça isso linha a linha e você vai concluir que somente a diagonal principal de T D pode ser não nula, isto é, T D é uma matriz diagonal.

    Tá, e daí? E daí que provamos que existe uma mudança de base que faz a matriz T virar diagonal, ou seja, ela é diagonalizável.

    Passo 2

  3. Bom, nessa questão vamos aproveitar o resultado do item a). Como? Simples, vamos escolher uma matriz diagonal onde as entradas da diagonal principal são todas distintas. Obviamente esta matriz é diagonalizável! Então, seja T a matriz associada à transformação T , logo:

T = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Seja então a transformação diagonal:

T 1 = r 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ r n

Observe que fizermos a mesma conta que fizermos para provar que T D era diagonal, vamos chegar que T também é diagonal! Logo:

T = a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

Passo 2

Falta agora provar que todo mundo da diagonal principal é igual. Para isso, pegue a matriz espertinha:

M = 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0

Ou seja, todo mundo da primeira linha é 1 e o resto é zero. Como ela é diagonalizável (confira!), podemos escrever:

T M = M T

T M = a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 = a 11 ⋯ a 11 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0

M T = 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n = a 11 ⋯ a n n ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0

Comparando as duas matrizes, obtemos:

a 11 = a 22 = … = a n n = r

Para algum r real.

Logo:

T = r ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ r = r I

Resposta

Demonstração.

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