Enunciado

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

5 )   T : P 2 → P 2 : T a x 2 + b x + c = a x 2 + c x + b

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.Pra isso, a gente tem que pensar em como podemos associar o polinômio a um vetor. A melhor idéia é fazer assim:

a x 2 + b x + c → a ,   b ,   c

E a base dos polinômios do segundo grau é:

β = { 1 ,   x ,   x 2 }

Aí, como nossa transformação é linear, vamos substituir os valores dela ali:

T 0 x 2 + 0 x + 1 = 0 + 1 x + 0 x 2

T 0 x 2 + 1 x + 0 = 1 + 0 x + 0 x 2

T 1 x 2 + 0 x + 0 = 0 + 0 x + 1 x 2

Por isso, a matriz dessa transformação é:

T = 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

0 - λ 1 0 1 0 - λ 0 0 0 1 - λ = 0

- λ 1 0 1 - λ 0 0 0 1 - λ = 0

Pela regra de Sarrus:

λ 2 1 - λ - 1 - λ = 0

Desenvolvendo, vamos encontrar:

λ 2 - 1 1 - λ = 0

E então, resolvendo, temos só dois autovalores!

λ = 1

λ = - 1

Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 :   v = a x 2 + b x + b

λ = - 1 : v = b x - b

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos só 2 autovetores distintos. Por isso, o operador não é diagonalizável!

Resposta

Não é diagonalizável.

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