Enunciado

Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.

2 - 4         0 0 1 2         12 0 0     0         2 0 0 - 1         - 4 - 5

Passo 1

Vamos primeiro lembrar como funciona esse algoritmo de inversão:

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue essa mesma sequência de operações elementares em I n para obter A - 1 .

Para conseguirmos aplicar esse algoritmo na matriz dada, juntamos a matriz identidade â direita de A, e produzimos uma matriz da forma

A     I ]

2 - 4 0 0 1 2 12 0 0 0 2 0 1 - 1 - 4 - 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  

Em seguida efetuamos operações com linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I   e o lado direito torne-se A - 1 , de modo que

[ I | A - 1 ]

Passo 2

Agora partimos para as contas. Vamos multiplicar a primeira linha por - 1 2 e somar a primeira com a segunda linha, o que torna

2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 2 0 0 - 1 - 4 - 5 1 0 0 0 - 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  

Agora multiplicamos a segunda linha por - 1 4 e somamos com a quarta linha

2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 2 0 0 0 - 1 - 5 1 0 0 0 - 1 2 1 0 0 0 0 1 0 - 1 8 1 4 0 1  

Vamos primeiro multiplicar a terceira linha por 1 2 , e depois fazer outra operação, que é somá-la com a quarta linha, e temos

2 - 4 0 0 0 4 12 0 0 0 1 0 0 0 0 - 5 1 0 0 0 - 1 2 1 0 0 0 0 1 0 - 1 8 1 4 1 2 1  

Passo 3

Agora multiplicamos a primeira linha por 1 2 , a terceira por 1 4 e a quarta linha por - 1 5 para obtermos

1 - 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 - 1 8 1 4 0 0 0 0 1 0 - 1 40 - 1 20 - 1 10 - 1 5  

Primeiro multiplicamos a terceira linha por -3 e somamos com a segunda linha. Com o resultado dessa operação, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos com a primeira, e temos:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 4 1 2 - 3 0 - 1 8 1 4 - 3 2 0 0 0 1 0 - 1 40 - 1 20 - 1 10 - 1 5

Como o lado esquerdo tornou-se a matriz identidade, a matriz inversa é então:

1 4 1 2 - 3 0 - 1 8 1 4 - 3 2 0 0 0 1 0 - 1 40 - 1 20 - 1 10 - 1 5

Resposta

1 4 1 2 - 3 0 - 1 8 1 4 - 3 2 0 0 0 1 0 - 1 40 - 1 20 - 1 10 - 1 5

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