Enunciado

Em cada parte, são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a E e mostre que, aplicando essas operações a A , o resultado E A .

  1. E = 0 1 1 0 ,       A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6
  2. E = 1 0 0 0 1 0 0 - 3 1 ,       A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1
  3. E = 1 0 4 0 1 0 0 0 1 ,       A = 1 4 2 5 3 6

Passo 1

Então galerinha, esse exercício tá pedindo pra gente escrever as operações elementares que E realiza e depois disso mostrar que aplicando essas operações em A eu chego no produto E A . Show de bolinhas, bora lá então.

Passo 2

Nossa letra (a) deu pra gente que

E = 0 1 1 0 e     A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6

A operação elementar que E realiza é a troca entre a linha 1 e linha 2. Se realizarmos o produto E A vamos obter

E A = 0 1 1 0 - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6 = 3 - 6 - 6 - 6 - 1 - 2 5 - 1

Aplicando a mesma operação em A

A = - 1 - 2 5 - 1 3 - 6 - 6 - 6 ⇒ L 1 ⇔ L 2 = 3 - 6 - 6 - 6 - 1 - 2 5 - 1

Que é exatamente igual ao produto E A .

Passo 3

Já na letra (b) temos

E = 1 0 0 0 1 0 0 - 3 1 e     A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1

A matriz E soma 3 vezes a linha 2 a linha 3 e o produto E A é

E A = 1 0 0 0 1 0 0 - 3 1 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1 = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 - 1 9 4 - 12 - 10

Agora realizando a mesma operação em A temos

A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 2 0 1 3 - 1 ⇒ L 3 = L 3 - 3 L 2 = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 - 1 9 4 - 12 - 10

E olha só, é exatamente igual ao produto E A .

Passo 4

Agora na letra (c) temos

E = 1 0 4 0 1 0 0 0 1   e     A = 1 4 2 5 3 6

A operação elementar de A é que ela soma 4 vezes a linha 3 com a linha 1 e nosso produto E A vai ser

E A = 1 0 4 0 1 0 0 0 1 1 4 2 5 3 6 = 13 28 2 5 3 6

Aplicando a mesma operação, vamos obter

A = 1 4 2 5 3 6 ⇒ L 1 = L 1 + 4 L 3 = 13 28 2 5 3 6

Que novamente é igual ao produto E A .

Resposta

  1. Trocar as linhas entre si: E A = 3 - 6 - 6 - 6 - 1 - 2 5 - 1
  2. Somar -3 vezes a linha 2 com a linha 3: E A = 2 - 1 0 - 4 - 4 1 - 3 - 1 5 3 - 1 9 4 - 12 - 10
  3. Somar 4 vezes a linha 3 com a linha 1: E A =   13 28 2 5 3 6
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