Enunciado

Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.

1 0 1 0 1 1 1 1 0

Passo 1

Vamos primeiro lembrar como funciona esse algoritmo de inversão:

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue essa mesma sequência de operações elementares em I n para obter A - 1 .

Para conseguirmos aplicar esse algoritmo na matriz dada, juntamos a matriz identidade â direita de A, e produzimos uma matriz da forma

A     I ]

1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Em seguida efetuamos operações com linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I   e o lado direito torne-se A - 1 , de modo que

[ I | A - 1 ]

Passo 2

Agora partimos para as contas. Vamos multiplicar a primeira linha por -1 e somar a primeira com a terceira linha, o que torna

1 0 1 0 1 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1  

Agora multiplicamos a segunda linha por -1 e somamos com a terceira linha

1 0 1 0 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 1  

Vamos primeiro multiplicar a terceira linha por - 1 2 e depois multiplicar a terceira linha por -1 e somar com a primeira e com a segunda, e assim teremos

1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2  

Passo 3

Agora multiplicamos a segunda linha por -1 e somamos com a primeira linha e temos:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2  

Como o lado esquerdo tornou-se a matriz identidade, a matriz inversa é então:

1 - 1 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2  

Resposta

1 - 1 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2  

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