Enunciado

em cada parte, expresse a forma quadrática na notação matricial x T A x com uma matriz simétrica A .

  1. 3 x 1 2 + 7 x 2 2
  2. 4 x 1 2 - 9 x 2 2 - 6 x 1 x 2
  3. 9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3

Passo 1

  1. Vamos lá! Sabendo que:

    Q a x = x T A x

    Vamos seguir o exemplo 1 da pág. 406 . Assim temos:

    3 x 1 2 + 7 x 2 2 = x T A x

    3 x 1 2 + 7 x 2 2 = x 1 x 2 ⋅ 3 0 0 7 ⋅ x 1 x 2

    Dica: os coeficientes dos nossos termos quadrados serão nossa diagonal principal, nossa diagonal secundária será a composição do produto entre os vetores:

    Passo 2

  2. Seguindo a lógica do item anterior nós temos:

    Q a x = x T A x

    4 x 1 2 - 9 x 2 2 - 6 x 1 x 2 = x T A x

    4 x 1 2 - 9 x 2 2 - 6 x 1 x 2 = x 1 x 2 ⋅ 4 - 3 - 3 - 9 ⋅ x 1 x 2

    Dica: os coeficientes dos nossos termos quadrados serão nossa diagonal principal, nossa diagonal secundária será a composição do produto entre os vetores:

    Passo 3

Seguindo a lógica do item anterior nós temos:

Q a x = x T A x

9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3 = x T A x

9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3   ⋅ 9 3 - 4 3 - 1 1 2 - 4 1 2 4 ⋅ x 1 x 2 x 3

Dica: os coeficientes dos nossos termos quadrados serão nossa diagonal principal, o resto da nossa matriz será uma composição do produto entre nossos vetores:

Resposta

  1. x 1 x 2 ⋅ 3 0 0 7 ⋅ x 1 x 2
  2. x 1 x 2 ⋅ 4 - 3 - 3 - 9 ⋅ x 1 x 2
  3. x 1 x 2 x 3   ⋅ 9 3 - 4 3 - 1 1 2 - 4 1 2 4 ⋅ x 1 x 2 x 3

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Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →