Enunciado

Mostre que a função f x , y =   4 x y - x 4 - y 4 tem pontos críticos em 0 ,   0 ,   ( 1 ,   1 ) e ( - 1 ,   - 1 ) . Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem máximos relativos em ( 1 ,   1 ) e ( - 1 ,   - 1 ) e um ponto de sela em 0 ,   0 .

Passo 1

Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho! Primeiro de tudo precisamos calcular as primeiras derivadas parciais da função f . Vamos denotar a primeira derivada parcial de f em relação a x como f x e a primeira derivada parcial de f em relação a y como f y . Logo:

f x = 4 y - 4 x 3

f y = 4 x - 4 y 3

Agora vamos igualar ambas as equações à zero!

f x = 4 y - 4 x 3 = 0

Então,

x 3 = y   ( 1 )

E também,

f y = 4 x - 4 y 3 = 0

Então,

x = y 3   ( 2 )

Substituindo (1) em (2), temos que quando x = 0 → y = 0 , quando x = 1 → y = 1 e quando x = - 1 → y = - 1 . Portanto, existem pontos críticos para essa função e eles são 0,0 , 1,1 e ( - 1 , - 1 ) .

Passo 2

Bom pra matar essa questão precisamos de outra coisa: calcular os autovalores das matrizes hessianas. Meu Deus... Oq é isso??? Vem comigo! A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função f . Olha aí embaixo!

H = f x x f x y f x z f y x f z x f y y f y z f z y f z z

Portanto, a matriz Hessiana é:

H = - 12 x 2 4                     0 4 0 - 12 y 2 0 0 0

Como todos os termos em z são nulos podemos reescrever da seguinte forma:

H = - 12 x 2 4 4 - 12 y 2

Portanto, a matriz hessiana para o ponto crítico 0,0 é:

H 1 = 0 4 4 0

E para o ponto crítico ( 1,1 ) :

H 2 = - 12 4 4 - 12

E para o ponto crítico ( - 1 , - 1 ) :

H 3 = - 12 4 4 - 12

Passo 3

Para encontrarmos os autovalores, precisamos do polinômio característico para ambas as matrizes hessianas. Para H 1 :

det ⁡ λ I - H 1 = 0

d e t λ 0 0 λ - 0 4 4 0 =   d e t λ - 4 - 4 λ = λ 2 - 16 = 0

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 16 = 0

Portanto, os autovalores da primeira matriz hessiana são:

λ 1 = 4

λ 2 = - 4

Como um autovalor é positivo e o outro autovalor é negativo, temos que o ponto crítico ( 0,0 ) é um ponto de sela! A primeira foi galera, vamos pra próxima matriz hessiana!

Passo 4

Para H 2 :

det ⁡ λ I - H 2 = 0

d e t λ 0 0 λ - - 12 4 4 - 12 =   d e t λ + 12 - 4 - 4 λ + 12 = ( λ + 12 ) 2 - 16 = 0

λ + 12 - 4 λ + 12 + 4 = 0

( λ + 8 ) ( λ + 16 = 0

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

( λ + 8 ) ( λ + 16 = 0

Portanto, os autovalores da segunda matriz hessiana são:

λ 1 = - 8

λ 2 = - 16

Como ambos os autovalores são negativos temos que o ponto crítico ( 1,1 ) é um mínimo relativo! Como a matriz Hessiana H 3 é idêntica a matriz Hessiana H 2 , concluímos também que o ponto crítico ( - 1 , - 1 ) é um mínimo relativo! Acabooooou!

Resposta

O ponto crítico ( 0,0 ) é um ponto de sela e os pontos críticos ( 1,1 ) e ( - 1 , - 1 ) são mínimos relativos!

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