Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição

x 2 + y 2 + z 2 = 1

e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

2 x ² + y ²   + z ² + 2 x y + 2 x z

Passo 1

Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho, primeiro vamos colocar a equação nesse formato aqui:

x T A x

Onde:

x = x 1   x 2   x 3

e A :

A = 2 1 1 1 1 0 1 0 1

Na verdade cagamos pro x porque quem vai nos ajudar a matar a questão é a matriz A . Você pode estar se perguntando da onde eu tirei esse A , então vou explicar:

Uma matriz 3x3 segue um modelo assim:

x x x y x z y x y y y z z x z y z z a 11 está associado à x x , que também podemos representar como o coeficiente de x ² que é 2 . Também temos que a 22 é o coeficiente de y² e a 33 o coeficiente de z². Então vamos começar a preencher nossa matriz:

2 x y x z y x 1 y z z x z y 1 Nossa matriz ainda está incompleta. Faltam os termos 2 x y e   2 x z . Beleza. Na nossa matriz acima temos   2 vezes o termo x y (em a 21 e em a 12 ), então vamos pegar o que multiplica x y na nossa equação e dividir por 2! Logo teremos 1 . Beleza, agora colocamos 1   em a 21 e em a 12 : 2 1 x z 1 1 y z z x z y 1

Estamos quase terminando a matriz, você já deve ter sacado como resolve… Temos 2 x z na nossa equação então vamos colocar 1   em a 31 e em a 13 :

2 1 1 1 1 y z 1 z y 1 Pra finalizar, nem temos x z na nossa equação, então é só tacar 0 nisso:

2 1 1 1 1 0 1 0 1

Aí está nossa da onde saiu a matriz A !!!

Passo 2

Bom pra matar essa questão precisamos de duas coisas: dos autovalores e dos autovetores da matriz A. Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Bora calcular esse negócio juntos! d e t   λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 2 1 1 1 1 0 1 0 1   = 0

Disso teremos que:

= ( λ - 2 ) ( λ - 1 ) ( λ - 1 ) - ( λ - 1 ) - ( λ - 1 )

= ( λ - 2 ) ( λ ² - 2 λ + 1 ) - λ + 1 - λ + 1

Beleza, agora, vamos distribuir esse negócio:

  - λ ³ - λ 2 + λ - 2 λ 2 + 4 λ - 2   - 2 λ + 2 = 0

λ 3 - 4 λ 2 + 3 λ = 0

λ λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Opa, sabemos então que λ 1 = 0 , λ 2 = 1 , λ 3 = 3 !

Passo 3

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 9 temos:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 1 1 1 1 0 1 0 1 x = 0

- 2 - 1 - 1 - 1 - 1 0 - 1 0 - 1 x = 0 Vou chamar λ I - A de A ’ . Beleza, se liga nisso aqui… Sabemos que as colunas da Matriz A ’ vão ser combinadas com os valores de x 1   x 2   x 3 , certo? Agora olha pra matriz A’... se a gente multiplicar a primeira coluna por -1, a segunda coluna por 1 e a terceira por 1 e depois somar todas essas linhas, concorda comigo que vamos zerar tudo? Isso é um jeito macetado de resolver esse tipo de problema! A dica que eu dou é você olha pra matriz e ver se enxerga uma forma fácil de zerar ela assim… Se não achar, é só fazer do método tradicional que esse não tem erro. Bom, aqui vimos que nosso autovetor será:

x 1 = - 1 1 1

Para λ 2 = 1 temos:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 2 1 1 1 1 0 1 0 1 x = 0 - 1 - 1 - 1 - 1 0 0 - 1 0 0 x = 0 Vou chamar λ I - A de A ’ de novo. Bom, na primeira coluna temos todos os 3 termos diferentes de 0, pra ela zerar não tem como somar nem subtrair outra linha dela… Portanto, para ela zerar, o termo x 1 = 0 . Já as outras duas é só fazer uma menos a outra, então teremos:

x 2 = 0 - 1 1

Para λ 3 = 3 temos:

3 0 0 0 3 0 0 0 3 - 2 1 1 1 1 0 1 0 1 x = 0 1 - 1 - 1 - 1 2 0 - 1 0 2 x = 0 Vamos usar mais uma vez o macete pra ficar craque nesse negócio: olha bem essa matriz. Olha aí, se fizermos a primeira vezes 2 e somar as outras duas zeramos ela!!!! Então essa fica:

x 3 = 2 1 1

Passo 4

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar todos! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 ‖ x 1 ‖ =   - 1 3 1 3 1 3

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 ‖ x 2 ‖ =   0 - 1 2 1 3

Normalizando o vetor x 3 , temos:

u 3 = x 3 ‖ x 3 ‖ =   2 6 1 6 1 6

Portanto, o nosso máximo condicionado é 3 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y ,   z )   =   u 3 e o nosso mínimo condicionado é 0 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y ,   z )   =   u 1 !

Resposta

Máximo condicionado é 3 e ocorre quando (x, y) = u 3 Mínimo condicionado é 0 e ocorre quando (x,y) = u 1

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