Enunciado

Em cada parte, use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injetora.

  1. T : R m → R m ; n u l T = 0 .
  2. T : R n → R n : p o s T = n - 1 .
  3. T : R m → R n ; n < m .
  4. T : R n → R n ; R T = R n .

Passo 1

A gente viu que de acordo com o Teorema 8.2.1 que se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetora.
  2. N u c T = { 0 } .

Então precisamos verificar em cada item, se   N u c T = { 0 } ou de forma equivalente, se n u l T = 0 .

Passo 2

Na letra (a), eles já deram pra gente que n u l T = 0 , então sim, nossa transformação é injetora.

Passo 3

Na letra (b), temos T : R n → R n : p o s T = n - 1 , logo pelo Teorema 8.1.4

p o s T + n u l T = n ⇒ n - 1 + n u l T = n

n u l T = 1

Portanto, n u l T ≠ 0 , então a transformação não é injetora.

Passo 4

Na letra (c), T : R m → R n ; n < m e o contradomínio dado é R n , como a imagem está contida no contradomínio, a dimensão máxima que ele pode atingir é n . Então o valor máximo para p o s ( T ) é n . Então supondo que temos a dimensão máxima para p o s ( T )

p o s T + n u l T = m ⇒ n + n u l T = m

n u l T = m - n

Como temos que n < m , a subtração m - n é maior que 0 . E n u l T = m - n > 0 , portanto n u l T ≠ 0 e nossa transformação não é injetora.

Passo 5

Na letra (d), T : R n → R n ; R T = R n , ou seja, quando ele diz que R T = R n , ele quer dizer que a transformação tem como imagem todo o R n , então p o s T = n e pelo Teorema

p o s T + n u l T = n ⇒ n + n u l T = n

n u l T = 0

Portanto nossa transformação também é injetora.

Resposta

  1. É injetora.
  2. Não é injetora.
  3. Não é injetora.
  4. É injetora.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(Requer Cálculo) Seja J : P 1 → R a transformação de integração J p = ∫ - 1 1 p x d x . Determine se J é injetora. Justifique sua resposta.
(Requer Cálculo) Seja V o espaço vetorial C 1 0 ,1 e defina T : V → R por T f = f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' ( 1 ) Verifique que T é uma transformação linear. Determine se T é injetora e justifique sua respo
(Requer Cálculo) Projete um método de usar a multiplicação matricial para derivar funções do espaço vetorial g e r 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x . Use o método projetado para encontrar
Determinar um operador linear F :R 3 → R 3 cuja imagem é gerada por ( 2 ,1 ,1 ) e ( 1 ,-1 ,2 ) .
Determinar um operador linear do R 3 cujo núcleo tenha dimensão 1 .