Enunciado

(Requer Cálculo) Seja J : P 1 → R a transformação de integração J p = ∫ - 1 1 p x d x . Determine se J é injetora. Justifique sua resposta.

Passo 1

Show de bolinhas galera, se a transformação J for injetora então

∫ - 1 1 p x d x = 0

Implica que

p x = 0

Se caso encontrarmos algum p x ≠ 0 que satisfaça ∫ - 1 1 p x d x = 0 , então esse polinômio está no núcleo e nossa transformação não é injetora.

Passo 2

Seja o espaço P 1 definido pelos polinômios da forma a x + b , se pegarmos por exemplo qualquer múltiplo de x , com b = 0 , temos p x = a x , então

∫ - 1 1 p x d x ⇒ ∫ - 1 1 a x d x = a x 2 2 - 1 1 = a 2 - a 2 = 0

Portanto todos os polinômios de P 1 com b = 0 estão no núcleo de J , logo n u l J ≠ 0 e nossa transformação não é injetora.

Resposta

Não é injetora.

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