Enunciado

(Requer Cálculo) Projete um método de usar a multiplicação matricial para derivar funções do espaço vetorial g e r 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x . Use o método projetado para encontrar a derivada de 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x .

Passo 1

Belezinha então pessoal, como queremos encontrar a matriz que deriva o conjunto gerado por g e r 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x ,   sabendo que essa derivada é dada por { 0 , cos ⁡ x ,   - s e n x , 2 cos ⁡ x ,   - 2 s e n ( 2 x ) } , então temos que encontrar uma matriz tal que

A 1 sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 0 cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 cos ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ 2 x

Suponha que

A = a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5

a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5 1 sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = a 1 1 a 2 sin ⁡ x a 3 cos ⁡ x a 4 sin ⁡ 2 x a 5 cos ⁡ 2 x = 0 cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 cos ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ 2 x

Passo 2

Logo podemos montar o sisteminha

a 1 1 = 0 a 2 sin ⁡ x = cos ⁡ x a 3 cos ⁡ x = - sin ⁡ x a 4 sin ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x a 5 cos ⁡ 2 x = - 2 sin ⁡ 2 x

Na primeira linha temos que a 1 1 = 0 , logo a 1 = 0 . Na segunda linha temos que

a 2 sin ⁡ x = cos ⁡ x ⇒ a 2 = cos ⁡ x sin ⁡ x = cot ⁡ x

E para as outras vamos ter

a 3 cos ⁡ x = - sin ⁡ x ⇒ a 3 = - sin ⁡ x cos ⁡ x = - tan ⁡ x

a 4 sin ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x ⇒ a 4 = 2 cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x = 2 cot ⁡ 2 x

a 5 cos ⁡ 2 x = - 2 sin ⁡ 2 x ⇒ a 5 = - 2 sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = - 2 tan ⁡ 2 x

Portanto

A = a 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a 4 0 0 0 0 0 a 5 = 0 0 0 0 0 0 cot ⁡ x 0 0 0 0 0 - tan ⁡ x 0 0 0 0 0 2 cot ⁡ 2 x 0 0 0 0 0 - 2 tan ⁡ 2 x

Passo 3

Queremos derivar 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x , passando ele para base 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , temos o vetor 3 ,   - 4 sin ⁡ x ,   0 , sin ⁡ 2 x , 5 cos ⁡ 2 x , logo a derivada vai ser dada por

0 0 0 0 0 0 cot ⁡ x 0 0 0 0 0 - tan ⁡ x 0 0 0 0 0 2 cot ⁡ 2 x 0 0 0 0 0 - 2 tan ⁡ 2 x 3 - 4 sin ⁡ x 0 sin ⁡ 2 x 5 cos ⁡ 2 x = 0 - 4 cos ⁡ x 0 2 cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ 2 x

Então 3 - 4 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ x ' = - 4 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ 2 x - 10 sin ⁡ 2 x

Resposta

Demonstração.

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