Enunciado

Determinar um operador linear do R 3 cujo núcleo tenha dimensão 1 .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Primeiro, vamos determinar d i m ⁡ ( I m F :

dim ⁡ R 3 = d i m ⁡ ( K e r F + d i m ⁡ ( I m F

3 = 1 +   d i m ⁡ ( I m F

d i m ⁡ ( I m F = 2

Vamos trabalhar com:

K e r F = 1,00 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1

E vamos escolher:

T 1,00 = 1,0 , 1

T 0,1 , 0 = 0,1 , 0

T 0,0 , 1 = 1,1 , 1

Passo 2

Agora vamos precisar de um vetor genérico:

T x , y , z

Agora vamos aplicar T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0,1 ,   0 ) e T 0 ,   0,1 :

T x , y , z = x T 1 ,   0 ,   0 + y T 0,1 , 0 + z T ( 0,0 ,   1 )

T x , y , z = x 1 ,   0 ,   1 + y 0,1 , 0 + z ( 1,1 , 1 )

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

T x , y , z = x 1 0 1 + y 0 1 0 + z 1 1 1

T x , y , z = 1 0 1 0 1 1 1 0 1 x y z

T x , y , z = x + z , y + z , x + z

Passo 3

Podemos provar que esse operador tem dimensão do núcleo igual a 1 e a da imagem é igual a 2 .

Para o núcleo vamos igualar a zero:

T x , y , z = x + z , y + z , x + z

x + z , y + z , x + z = 0,0 , 0

Vamos montar em forma de sistema:

x + z = 0 y + z = 0 x + z = 0

Vamos usar a primeira equação:

x + z = 0

Vamos isolar x :

x = - z

E vamos reescrever a segunda equação em função de z :

y + z = 0

y = - z

Temos que:

K e r F = - 1 , - 1,1

E que:

dim ⁡ K e r F = 1

Passo 4

Para a imagem vamos usamos o vetor T x , y , z , e reescreve-lo como soma de outros vetores:

x + z , y + z , x + z = x , 0 , x + 0 , y , 0 + z , z , z

x + z , y + z , x + z = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0 + z 1,1 , 1

Como I m F tem dimensão igual a 2 , se usarmos os três vetores para determinar a imagem teremos um conjunto L . D . Bora ver isso?

Vamos verificar se nossos vetores são L . I :

a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + c 1,1 , 1 = 0,0 , 0

a , 0 , a + 0 , b , 0 + c , c , c = 0,0 , 0

Vamos escrever na forma de sistema:

a + c = 0 b + c = 0 a + c = 0

Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:

a + c = 0

Agora isolando b , temos:

a = - c

E temos:

b + c = 0

b = - c

Os três vetores são linearmente dependentes, pois ( - c , - c , c ) .

Para que sejam linearmente independentes precisamos excluir o vetor 0,1 , 0 , porque aí não temos o b , e não teremos dependência. Mas, bora conferir isso?

Usando os vetores:

a , 0 , a + c , c , c = 0,0 , 0

Vamos escrever na forma de sistema:

a + c = 0 c = 0 a + c = 0

Vamos escolher a primeira equação e isolar a :

a + c = 0

a = - c

Temos que:

c = 0

Então, temos:

a = 0

Então, temos a partir dos vetores 1 , 0 , 1   e   1 , 1 , 1 que:

I m F = 1,0 , 1 ,   1,1 , 1

E que:

dim ⁡ I m F = 2

Resposta

T x , y , z = x + z , y + z , x + z

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