Enunciado

Em cada parte, use o produto interno:

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

Em C 0,1 para calcular f , g .

  1. f = cos ⁡ 2 π x , g = sen ⁡ 2 π x
  2. f = x ,     g = e x
  3. f = tg ⁡ π 4 x ,   g = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

f , g = ∫ 0 1 f x g x d x

Para f x g x , temos que:

f x g x = cos ⁡ 2 π x sen ⁡ 2 π x

f , g = 1 2 ∫ 0 1 sen ⁡ 4 π x d x  

Resolvendo a integral, temos que:

f , g = - 1 8 π cos ⁡ 4 π x 0 1

f , g = 0

Passo 2

Para o item b , temos que:

f x g x = x e x

Logo:

f , g = ∫ 0 1 x e x d x  

Resolvendo a integral, temos que:

f , g = e x x - 1 0 1

f , g = 1

Passo 3

Para o item c , temos que:

f x g x = tg ⁡ π 4 x

Logo:

f , g = ∫ 0 1 tg ⁡ π 4 x d x  

Resolvendo a integral, temos que:

f , g = - 4 π log ⁡ cos ⁡ π 4 x 0 1

f , g = 4 π log ⁡ 2

f , g = 2 π log ⁡ 2 2

f , g = 2 π log ⁡ 2

Resposta

a )   f , g = 0

b ) f , g = 1

c )   f , g = 2 π log ⁡ 2

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