Enunciado

Mostre que se < X , V > = < X , W > para todo vetor X , então V = W .

Passo 1

E aí, como vão as coisas?

Nessa questão temos que usar o seguinte truque:

< X , V > = < X , W > => < X , V > - < X , W > = 0

=> < X , V - W > = 0

Como essa relação tem que valer para qualquer vetor X e só tem um vetor que é perpendicular a qualquer outro (o vetor nulo) então

V - W = overset(̄)(0) => V = W

Até que não foi tão complicado, não é mesmo?

Resposta

Veja a resolução acima.

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Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaço com produto interno e c um escalar qualquer, então c x + y 2 = c 2 x 2 + 2 c x , y + y 2
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor em R 4 que seja ortogonal a u 1 → = 1 ,0 ,0 ,0 e u 4 → = 0 ,0 ,0 ,1 e faça ângulos iguais com u 2 → = 0 ,1 ,0 ,0 e u 3 → = 0 ,0 ,1
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor x → = x 1 ,x 2 , x 3 ,x 4 que seja ortogonal aos vetores u 1 → e u 4 → dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre x →
Prove: se u ,v e u ,v 2 forem dois produtos internos num espaço vetorial V , então a quantidade u ,v = u ,v 1 + u ,v 2 também é um produto interno.
Prove o Teorema 6.2.5.