Enunciado

Repita o E x e r c í c i o   1 com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2

Como u = 1,1 e v = 3,2 , temos que:

u , v = 2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 ⋅ 2

u , v = 12

Passo 2

Item b:

k v , w = k v , w

k v , w = k 3 v 1 w 1 + 2 v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

k v , w = 3 2 3 ⋅ 0 + 3 2 ⋅ - 1

k v , w = - 18

Passo 3

Item c:

u + v , w = u , w + v , w

u + v , w = 2 u 1 w 1 + 1 u 2 w 2 + 2 v 1 w 1 + 3 v 2 w 2

Substituindo os valores, temos que:

u + v , w = 2 1 ⋅ 0 + 3 1 ⋅ - 1 + 2 3 ⋅ 0 + 3 2 ⋅ - 1

u + v , w = - 3 - 6

u + v , w = - 9

Passo 4

Item d:

v = v , v

Ou seja:

v = 2 v 1 v 1 + 3 v 2 v 2

Substituindo, temos que:

v = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2

v = 18 + 12

v = 30

Passo 5

Item e:

d u , v = u - v

Ou seja:

d u , v = u - v , u - v

Sabendo que u - v = 1 - 3 , 1 - 2 = - 2 , - 1 , temos que:

d u , v = 2 - 2 ⋅ - 2 + 3 - 1 ⋅ - 1

d u , v = 8 + 3

d u , v = 11

Passo 6

Item f:

u - k v = u - k v , u - k v

Temos que:

u - k v = 1,1 - 3 3,2

u - k v = 1 - 9,1 - 6

u - k v = - 8 , - 5

Aplicando seu produto interno, temos que:

u - k v = 2 - 8 ⋅ - 8 + 3 - 5 ⋅ - 5

u - k v = 128 + 75

u - k v = 203

Resposta

a )   u , v = 12

b ) k v , w = - 18  

c )   u + v , w = - 9

d )   v = 3 0

e )   d u , v = 11  

f )   u - k v = 2 0 3

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Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3 u , v
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas. u , v = v , u u + v , w = u , w + v , w u , v + w = u , v + u , w a u , v
Prove: se u , v for um produto euclidiano de R n e se A for uma matriz n × n , então u , A v = A T u . v [Sugestão: use o fato de que u , v = u . v = v T u .]
Use a desigualdade Cauchy-Schwarz para mostrar que a 1 + a 2 + … + a n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n ≤ n 2 Quaisquer que sejam os números reais positivos a 1 ,a 2 , … , a n .
Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaço com produto interno e c um escalar qualquer, então c x + y 2 = c 2 x 2 + 2 c x , y + y 2