Enunciado

Em cada parte, use o produto interno em R 2 dado para calcular w , com w = - 1,3 .

  1. O produto interno euclidiano.
  2. O produto interno euclidiano ponderado u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 , com u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 .
  3. O produto interno gerado pela matriz

A = 1 - 1       2 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o produto interno euclidiano é dado por:

u , v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n

Logo, sua norma será:

u = u 1 2 + u 2 2 + ⋯ + u n 2

Como w = - 1,3 , temos que a norma de w será:

w = - 1 2 + 3 2

w = 10

Passo 2

Para o item b precisamos saber a regra do produto interno. Seja:

u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2

Temos que:

w , w = 3 w 1 w 1 + 2 w 2 w 2

w , w = 3 w 1 2 + 2 w 2 2

Logo:

w , w = 3 - 1 2 + 2 3 2

w , w = 21

A sua norma é dada por:

w = w , w 1 2

Logo:

w = 21

Passo 3

O produto interno a partir da matriz será:

w , w = 2 w 1 w 1 - w 1 w 2 - w 2 w 1 + 13 w 2 w 2

Rearranjando, temos que:

w , w = 2 w 1 2 - 2 w 1 w 2 + 13 w 2 2

Substituindo os valores, temos que:

w , w = 2 - 1 2 - 2 - 1 3 + 13 3 2

w , w = 125

Portanto, sua norma será:

w = w , w 1 2

w = 125

w = 5 5

Resposta

a )   w = 10

b )   w = 21

c )   w = 5 5

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Repita o E x e r c í c i o3 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 4 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 .
Suponha que P 2 tenha o produto interno: p , q = ∫ - 1 1 p x q x d x Encontre p com p = 1 , p = x e p = x 2 Encontre d p , q com p = 1 e q = x .
Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3 u , v
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas. u , v = v , u u + v , w = u , w + v , w u , v + w = u , v + u , w a u , v
Prove: se u , v for um produto euclidiano de R n e se A for uma matriz n × n , então u , A v = A T u . v [Sugestão: use o fato de que u , v = u . v = v T u .]