Enunciado

Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R 2 . Encontre a raiz que gera esse produto interno.

  1. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2
  2. u , v = 4 u 1 v 1 + 6 u 2 v 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

O produto interno euclidiano ponderado:

u , v = w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + ⋯ + w n u n v n

É o produto interno em R n gerado por:

A = w 1 0 ⋮ 0       0 w 2 ⋮ 0         ⋯ ⋯ ⋮ ⋯         0 0 ⋮ w n

Aqui, temos que:

u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2

Logo:

w 1 = 3

w 2 = 5

Assim, a matriz geradora é:

A = w 1 0       0 w 2

A = 3 0       0 5

Passo 2

Item b:

Para o item b , temos que:

u , v = 4 u 1 v 1 + 6 u 2 v 2

Logo:

w 1 = 4

w 2 = 6

E a matriz geradora, será:

A = 4 0       0 6

A = 2 0       0 6

Resposta

a )   A = 3 0       0 5

b )   A = 2 0       0 6

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