Enunciado

Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico

y 2 100 - x 2 64 = 1

Passo 1

Para questões de equações de hipérboles, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação está na forma y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro.
  • As coordenadas dos focos é dada pela equação c 2 = a 2 + b 2
  • Uma vez tendo o termo de a 2 e b 2 e as coordenadas do centro, temos os vértices A 1 e A 2 .
  • A excentricidade é dada pela equação e = 1 + b 2 a 2               →             e = c a
  • Para esboço do gráfico precisamos das assíntotas. Nesse caso é dada por y = ± a b x

O eixo da hipérbole é o eixo que contém o sinal positivo na equação de forma

y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 . Nesse caso, é o eixo y .

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação x 2 100 - y 2 64 = 1 , vemos que ela está no formato:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Portanto, daí conseguimos extrair as coordenadas do seu centro que são x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

Passo 3

Continuando na equação y 2 100 - x 2 64 = 1 , por estar no formato y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 , conseguimos também encontrar os fatores a e b .

a 2 = 100         ∴           a = 10

b 2 = 64           ∴             b = 8

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 + b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 100 + 64

c = 164

c = 2 2 ∙ 41

c = 2 41

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da hipérbole.

e = c a

e = 2 41 10

e = 41 5

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( 0 ,   0 - 10 )

A 1 = ( 0 , - 10 )

Assim,

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( 0,0 + 10 )

A 2 ( 0 ,   10 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 1 = ( x c ,   y c - c )

F 1 = ( 0,0 - 2 41 )

F 1 = ( 0 ,   - 2 41 )

Assim,

F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 2 = ( 0 + 2 41 , 0 )

F 2 = ( 0 ,   2 41 )

Passo 8

Com todos os pontos encontrados, vamos calcular as assíntotas usando a equação y = ± a b .

y = ± a b x

y 1 = a b x

y 1 = 10 8 x       →         y 1 = 5 4 x

A segunda reta é dada por:

y 2 = - a b x

y 2 = - 10 8 x       →         y 2 = - 5 4 x

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole x 2 100 - y 2 64 = 1 e as equações das assíntotas:

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

A 1 0 , - 1 0 ,   A 2 0 ,   1 0 ,   F 1 0 ,   - 2 41 ,   F 2 0 ,   2 41 e e = 41 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Centro C 3,2 , um vértice A 1,2 e um foco F - 1,2
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértice em 2 , - 4 e 2,0 e um foco em 2 , - 2 + 13
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértice em 5 , - 1 e 5,5 e excentricidade 2
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Focos F ± 3,0 e equações das assíntotas y = ± x
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Focos F 1 - 6,1 e F 2 0,1 e eixo real medindo 4