Enunciado

Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico

4 x 2 - 5 y 2 + 20 = 0

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos achar uma maneira de deixar nessa forma.
  • O semi-eixo menor é dado c 2 = a 2 + b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • As assíntotas são dadas pela equação y = ± a b x
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c ,   y c - a ) e A 2 = x c ,   y c + a
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação 4 x 2 - 5 y 2 + 20 = 0 , vamos transformá-la numa equação no formato:

y - y c 2 b 2 - x - x c 2 a 2 = 1

Para isso, vamos dividir a equação inteira por 20 . Assim, temos:

4 x 2 20 - 5 y 2 20 + 20 20 = 0

x 2 20 4 - y 2 20 5 = - 1

y 2 4 - x 2 5 = 1

Passo 3

Analisando a equação y 2 4 - x 2 5 = 1 , temos que, se y - y c 2 a 2 - x - x c 2 b 2 = 1 .

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

a 2 = 4         ∴           a = 2

b 2 = 5           ∴             b = 5

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 + b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 4 + 5

c = 9

c = 3

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 3 2

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c ,   y c - a )

A 1 = ( 0 ,   0 - 2 )

A 1 = ( 0 , - 2 )

Assim,

A 2 = ( x c ,   y c + a )

A 2 = ( 0 ,   0 + 2 )

A 2 ( 0 ,   2 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c ,   y c - c ) e F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 1 = ( x c ,   y c - c )

F 1 = ( 0 ,   0 - 3 )

F 1 = ( 0 ,   - 3 )

Assim,

F 2 = ( x c ,   y c + c )

F 2 = ( 0 ,   0 + 3 )

F 2 = ( 0 ,   3 )

Passo 8

Encontrados os pontos, vamos encontrar a equação das assíntotas usando da equação

y = ± a b x .

y 1 = a b x

y 1 = 2 5 x

Assim,

y 2 = - a b x

y 2 = - 2 5 x

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole y 2 4 - x 2 5 = 1 e as equações das assíntotas:

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

A 1 0 ,   - 2 ,   A 2 0 ,   2 ,   F 1 0 ,   - 3 ,   F 2 0 ,   3 e e = 3 2

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5.1.3. Escreva as equações das seguintes hipérboles: (b) Os focos são F1 = (−1, −1) e F2 = (1, 1) e satisfaz | distância (P, F1) – distância (P, F2)| = 2;
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