Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértice em 2 , - 4 e 2,0 e um foco em 2 , - 2 + 13

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O y , pois os pontos tem o valor x constante igual a 2 , assim a equação vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que um foco é F 2 , - 2 + 13 e os dois vértices em 2 , - 4 e 2,0 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre os dois vértices é igual a 2 a , então vamos achar a :

2 a = 0 - - 4 → 2 a = 4 → a = 2

Além do centro C h , k ser o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2 ele também é o ponto médio dos segmentos dos vértices A 1 A 2 , assim temos:

h = 2

k = - 2

O centro é então C 2 , - 2 , e com essa informação podemos encontrar o valor de c , já que a distância do centro ao foco é igual a c :

c = - 2 + 13 - - 2 = - 2 + 13 + 2 = 13

Passo 3

Vamos também encontrar o outro foco para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é de 13 , temos então que a coordenada y dele é:

- 2 - 13

E a x é constante e igual à 2 , assim o outro foco é F 2 2 , - 2 - 13 .

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 13 2 = 2 2 + b 2 → 13 = 4 + b 2 → b 2 = 9 → b = 3

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 2 , - 2 , a = 2 e b = 3 :

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - - 2 2 2 2 - x - 2 2 3 2 = 1 → y + 2 2 4 - x 2 - 4 x + 4 9 = 1 →

→ y 2 + 4 y + 4 4 - x 2 - 4 x + 4 9 = 1 → 9 y 2 + 36 y + 36 - 4 x 2 - 16 x + 16 36 = 36 36 →

→ 9 y 2 + 36 y + 36 - 4 x 2 + 16 x - 16 36 = 36 36 → - 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y + 20 = 36 →

→ - 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y + 20 - 36 = 0 → - 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y - 16 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

- 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y - 16 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, - 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y - 16 = 0 :

Resposta

- 4 x 2 + 9 y 2 + 16 x + 36 y - 16 = 0

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