Enunciado

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Focos F ( 0 , ± 5 ) , comprimento do eixo imaginário 4.

Passo 1

Antes de começar a resolver, vamos analisar F . Perceba que nesse caso x é nulo e varia em ± y , isso significa que montaremos uma equação de hipérbole para o caso da segunda referência (quando relacionamos os vértices em y ) , teremos:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Os focos F são dados por F ( 0 ± c ) e nesse caso teremos que :

F ( 0 ± 5 )

Nesse caso:

c = 5

Sabemos também que o comprimento do eixo imaginário é dado por 2 b , isso significa que:

2 b = 4

b = 2

Agora, podemos usar o Teorema de Pitágoras nessa hipérbole para determinar a , se:

c 2 = a 2 + b 2

5 2 = a 2 + 2 2

25 = a 2 + 4

a 2 = 21

Passo 2

Com isso, conseguimos aplicar na equação da hipérbole:

y 2 21 - x 2 4 = 1

Tirando o mínimo múltiplo comum teremos:

4 y 2 - 21 x 2 84 = 84 84

Cortando os denominadores iguais:

4 y 2 - 21 x 2 - 84 = 0

Resposta

4 y 2 - 21 x 2 - 84 = 0

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