Enunciado

Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

31)   x 2 = 12 ( y - 6 )

Passo 1

Neste exercício, devemos determinar o vértice, o foco, a diretriz e uma equação para o eixo da parábola. Em seguida, esboçaremos o gráfico da função com o software Geogebra. A equação é: x 2 = 12 ( y - 6 ) .

Começaremos o exercício trabalhando com a equação e em seguida compararemos com as equações genéricas da parábola, e então encontraremos os valores desejados. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Sabendo que as equações genéricas da parábola são do tipo x - h 2 = 2 p ( y - k ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo y , ou então y - k 2 = 2 p ( x - h ) para quando o eixo da parábola é paralelo ao x , iremos reescrever a equação do exercício e comparar com as duas possibilidades:

x 2 = 12 y - 6

x - 0 2 = 12 y - 6

Passo 3

Podemos observar que a equação reescrita no passo anterior é similar à equação da parábola com eixo paralelo ao eixo y . Por comparação com a equação genérica x - h 2 = 2 p ( y - k ) , obtemos:

h = 0

k = 6

p = 6

Passo 4

Agora, o vértice é dado pelas coordenadas V = ( h ,   k ) . Assim, temos:

V = ( 0 ,   6 )

Passo 5

Como a equação é paralela ao eixo y , devemos ter a coordenada de x do foco igual à coordenada x do vértice. Por outro lado, a coordenada y é encontrada somando p 2 a coordenada k do vértice, ou seja:

y F = k + p 2

y F = 6 + 6 4

y F = 9

Portando, o foco é: F = ( 0 ,   9 ) .

Passo 6

A diretriz é encontrada subtraindo p da coordenada y do foco. A parábola possui eixo paralelo ao eixo y , logo, a diretriz deve ser do tipo y = k - p . Este valor será:

y = k - p

y = 9 - 6

y = 3

Por fim, devemos encontrar a equação para o eixo da parábola dada. Como esta equação é paralelo ao eixo y (eu sei que já falei isso várias vezes), a equação deste eixo passa pela coordenada x do foco, logo, esta equação deverá ser:

x = 0

Passo 7

Com o auxílio do software Geogebra, plotamos o gráfico da função ( x - 0 ) 2 = 12 ( y - 6 ) .

Resposta

V = 0 ,   6 ,     F = 0 ,   9 ,     y = 3 ,     x = 0

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