Enunciado

Em cada um dos Problemas de 20 a 27, obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.

Centro C ( 1,4 ) , um foco F ( 5,4 ) e excentricidade 2 3

Passo 1

Vamos começar lembrando como é a fórmula da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Certo? Nãããão! Isso só rola quando o centro é em ( 0,0 ) no centro, a fórmula da elipse com centro sem ser em ( 0,0 ) é assim

x - x o 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Show, o pontos x 0 e y 0 são o centro que no caso são 1 e 4, então nossa formula fica assim:

x - 1 2 a 2 + y - 4 2 b 2 = 1

O enunciado nos diz que temos um foco em ( 5,4 ) e a excentricidade 2 3

Temos que e = c a , sendo c nossa distancia focal, temos que c = 4 , já que o foco está em 5,4 e esté alinhado com o centro em 4 .

2 3 = 4 a

a = 6

Passo 2

Agora para achar b vamos lembrar da nossa elipse e a relação entre a , b   e c

Então temos que a 2 = b 2 + c 2

6 2 = b 2 + 4 2

b 2 = 36 - 16

b 2 = 20

Então, nossa formula da elipse fica

x - 1 2 36 + y - 4 2 20 = 1

Passo 3

Podemos ajeitar a resposta para ficar igual ao gabarito assim

x 2 - 2 x + 1 3 6 + y 2 - 8 y + 16 20 = 1

Fazendo o MMC, temos que o denominador será 180, então ficamos com

5 x 2 - 2 x + 1 + 9 y 2 - 8 y + 16 = 180

Ajeitando isso ai ficamos com

5 x 2 + 9 y 2 - 10 x - 72 y - 31 = 0

Resposta

5 x 2 + 9 y 2 - 10 x - 72 y - 31 = 0

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